Per ardua ad astra.

확률과 통계 모비율의 검정

모비율의 검정 이 페이지에서는 정당의 지지율, TV 프로그램의 시청률 또는 생산 제품의 불량률 등과 같은 모집단의 비율에 대한 주장을 검정하는 방법을 살펴본다. 단일 모비율에 대한 검정 모비율 `p` 에 대한 추정을 위해 표본 비율 $\hat{p}$ 를 사용한 것과 동일하게, 모비율 `p` 에 대한 가설을 검정하기 위해 표본 비율 $\hat{p}$ 를 사용한다. 그러면 모비율 $p$ 에 대해 다음과 같은 3가지 유형의 귀무 가설을 생각할 수 있다. $$H_{0} : p = p_{0}, \quad H_{0} : p \le p_{0}, \quad H_{0} : p \ge p_{0}$$ 그리고 이에 대한 대립 가설은 각각 다음과 같다. $$H_{0} : p \ne p_{0}, \quad H_{0} : p > ..

모평균의 검정 (σ² : 미지) 이전 글에서는 모집단의 분산을 알고 있는 경우에 모평균과 두 모평균 차에 대한 주장을 검정하는 방법을 살펴보았다. 그러나 대부분의 모집단은 모분산이 알려져 있지 않다. 따라서 모분산을 모르는 경우에 모평균에 대한 주장을 검정하는 방법을 살펴볼 필요가 있다. 모분산이 알려져 있지 않은 경우에는 정규 분포와 매우 흡사한 `t`-분포를 사용한다. 이 페이지에서는 `t`-분포를 이용하여 모분산이 알려져 있지 않은 정규 모집단의 모평균과 두 모평균의 차에 대한 주장을 검정하는 방법을 살펴본다. `t`-검정(`t`-Test) 근대 통계학의 기초가 되는 소표본론에서 많은 업적을 남긴 영국의 통계학자인 윌리엄 고셋(William Sealey Gosset, 1876-1937)이 소표본을 ..

확률과 통계 모비율의 추정

모비율의 추정 모비율의 신뢰 구간 표본의 크기 `n` 이 충분히 크다면, 모집단의 모비율 `p` 에 대한 점 추정량은 표본 비율 $\displaystyle \hat{p} = \frac{X}{n}$ 이고, $\hat{p}$ 는 다음과 같은 정규 분포에 근사한다. (관련 내용 바로가기) $\displaystyle \hat{p} \approx N(p, \; \frac{pq}{n})$ 또는 $\displaystyle Z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{pq}{n}}} \approx N(0, \; 1)$ (단, $q = 1 - p$) 그러므로 다음을 얻는다. $$P(|Z| \le z_{\frac{α}{2}}) \approx 1 - α \\ P \left( \left | \frac{\ha..

오일러와 해밀턴 연결 그래프에는 하나의 정점에서 다른 정점으로 가는 다양한 길이 존재할 수 있는데, 그 중에서 같은 변을 반복적으로 지나지 않는 길이 경로이다. 순환(Cycle) / 회로(Circuit) 연결 그래프에서 시작하는 정점과 끝나는 정점이 같은 경로 길이(Length) 경로 또는 순환을 구성하는 변의 수 한 그래프에 포함되는 임의의 정점에서 다른 정점 혹은 다시 원래의 정점으로 가는 길은 다양하다. 그중 변을 한 번씩만 지나 다른 정점으로 가는 길은 경로이고, 원래의 정점으로 다시 돌아오는 경로는 순환이다. 예 (1) $a - c - d - f$ (2) $a - e - c - d - b - f$ (3) $a - c - e - a$ (4) $a - e - c - a$ (5) $a - c - d ..

그래프의 종류 그래프는 정점과 변이 어떻게 구성되는지에 따라 종류를 구분한다. 부분 그래프와 신장 부분 그래프 부분 그래프(Subgraph) 그래프 $G = (V, \; E)$ 에 대하여, $V' ⊆ V$ 이고 $E' ⊆ E$ 인 정점과 변으로 구성된 $G \ne G'$ 인 그래프 $G' = (V', \; E')$ 신장 부분 그래프(Spanning Subgraph) 그래프 $G = (V, \; E)$ 에 대하여, $V' = V$ 이고 $E' ⊆ E$ 인 정점과 변으로 구성된 그래프 $G' = (V', \; E')$ 부분 그래프 `G'` 은 어떤 그래프 `G` 에 포함된 정점과 변의 일부 또는 전체로 구성된 그래프이다. 부분 그래프 `G'` 을 구성하는 정점의 집합과 변의 집합은 각각 그래프 `G` 의 정..

그래프의 개념 점과 선을 이용해 개념, 구조 또는 과정 등을 이해하는 데 필요한 주요 요소 간의 관계, 거리, 비용 등을 시각적으로 표현한 도구를 그래프(Graph)라고 한다. 그래프는 글이나 수식으로는 복잡하고 어렵게 표현되는 것을 그림으로 표현하기 때문에 컴퓨터 시스템의 회로나 네트워크 설계나 구조, 프로그램의 알고리즘, 인공지능의 지식 정보의 파생 과정 및 내용 등을 표현하는 데 효율적이고 효과적으로 활용된다. 그래프는 정점과 변으로 표현되기 때문에 정점에 대한 정보와 변에 대한 정보를 정의함으로써 그래프를 정의하고 표현한다. 그래프는 보통 그림 형태로 표현하지만, 집합 표현과 같은 수학적 기호로 표현할 수도 있다. 그래프의 정의와 표현 그래프(Graph : $G = (V, \; E)$ ) 공집합이..

모집단과 표본 기술 통계학에서 통계 목적에 부합하는 모든 자료 집단을 모집단이라고 한다. 예를 들어, 우리나라는 5년 주기로 인구 주택 총조사를 실시한다. 이 때 모든 가구를 대상으로 가족 구성원의 연령을 비롯하여 가구 형태 등을 조사한다. 이와 같이 통계 목적에 부합하는 모든 자료들의 집단을 모집단이라고 하며, 이 모집단 전체를 대상으로 조사하는 것을 전수 조사(Complete Survey)라 한다. 한편, 선거철이 되면 방송이나 신문에서 "신뢰도 95%와 표본 오차 5%에서 A 후보의 지지율이 30% 이다." 라는 내용을 자주 접한다. 이 경우는 모든 유권자(모집단) 중에서 일부(표본)만 대상으로 조사한 결과를 나타낸다. 이와 같이 표본을 대상으로 조사하는 것을 표본 조사(Sampling Survey..

함수의 종류 항등 함수(Identity Function : $I_{A}$ ) 집합 `A` 에 대한 함수 $f : A \rightarrow A$ 가 $f(a) = a$ 로 정의되는 관계 항등 함수가 성립하려면 함수의 정의역, 공역, 치역 집합이 모두 상등이어야 한다. 항등 함수는 정의역의 원소 $x_{1}, x_{2}$ 가 $x_{1} \ne x_{2}$ 일 때 $f(x_{1}) = x_{1} \ne x_{2} = f(x_{2})$ 이므로 단사 함수이고, 모든 공역의 원소 `y` 에 대하여 `f(x) = y` 를 만족하는 정의역 원소 `x` 를 가지므로 전사 함수이다. 따라서 항등 함수는 전단사 함수이다. 예 집합 $A = \{-1, 0, 1 \}$ 에 대한 함수 $f_{1}(x) = x$ 와 $f_{2}..

합성 함수 합성 함수의 정의 삼각 함수 공식 중 $\sin (α + β)$ 와 같은 식이 있다. 이 식은 다음과 같이 두 함수 `f(x)` 와 `g(x, y)` 를 합성한 결과이다. $$f(x) = sin(x), \; g(x, y) = x + y \quad \Rightarrow \quad sin(α + β) = f(g(α, β))$$ 이처럼 최초 입력을 이용해 2개 이상의 함수를 차례로 연산하여 최종 출력을 내어 입력과 출력을 대응하는 함수를 합성 함수라고 한다. 합성 함수(Composite Function : $g \circ f$ ) 두 함수 $f : A \rightarrow B$ 와 $g : B \rightarrow C$ 가 있을 때, 집합 `A` 의 각 원소를 집합 `C` 의 원소에 대응하는 함수 ..

이산 확률 분포 일반적으로 통계 모형에서 사용되는 확률 분포는 확률 함수에 의해 결정되는데, 이 때 확률 함수를 살펴보면 특정한 숫자에 의해 동일한 유형으로 나타난다. 특히 이산 확률 변수의 확률 분포를 이산 확률 분포라 한다. 베르누이 분포(Bernoulli Distribution) 동전 던지기의 앞면과 뒷면, 생산한 제품의 양호와 불량, 그리고 설문조사의 YES와 NO 등과 같이 실험 결과가 2가지인 확률 실험을 베르누이 실험(Bernoulli Experiment)이라 한다. 이 실험에서 관심의 대상이 되는 실험 결과를 성공, 그렇지 않은 결과를 실패라 하고, 성공의 확률 `p` 를 성공률(Rate of Success)이라 한다. 예 주사위를 던져서 1의 눈이 나오는 게임을 한다면, 관심의 대상은 1..

확률 변수의 평균과 분산 양적 자료에 대한 평균은 도수 히스토그램의 중심 위치를 나타내고, 분산은 평균을 중심으로 흩어진 정도를 나타낸다. 이와 마찬가지로 확률 변수 `X` 의 분포에 대한 중심 위치인 평균과 이 값을 중심으로 흩어진 정도인 분산을 정의할 수 있다. 확률 변수의 평균 어느 마트에서 창립 기념으로 고객에게 상품권을 제공하는 시은행사를 실시한다. 이 마트에서 제작한 복권의 수와 상품권 금액은 다음과 같다. 상품권 복권 수 100만원 2 50만원 8 10만원 10 0원 30 이 마트에서 고객에게 제공하는 상금의 평균을 $\overline{x}$ 라 하면 다음과 같이 구할 수 있다. $$\overline{x} = \frac{1}{50}(0 \times 30 + 10 \times 10 + 50 \..

연속 확률 변수 이산 확률 변수는 확률 변수 `X` 가 취할 수 있는 값이 하나하나 떨어져 있으며, 그 값이 유한개이거나 셀 수 있는 값이다. 그러나 하루 동안 최저 온도 -10℃ 에서 최고 온도 5℃까지 수온주의 높이를 확률 변수 `X` 라 하면, `X` 가 취할 수 있는 값은 구간 [-10, 5] 안의 모든 실수로 나타난다. 이와 같이 확률 변수 `X` 의 상태 공간이 구간으로 나타나는 경우에도 확률 함수와 분포 함수 및 확률을 계산할 수 있다. 연속 확률 변수의 의미 온도계 수온주의 높이, 택시 정류장에서 기다리는 시간, 새로 교체한 전구의 수명 등과 같이 확률 변수가 취하는 값이 어떤 구간인 경우를 생각할 수 있다. 이 때, 온도계 수온주의 높이는 유한 구간이고, 전구의 수명은 무한 구간이다. 연..

함수의 성질 함수의 입력과 출력의 대응 형태에 따라 함수의 성질이 결정된다. 함수의 성질을 알면 정의역과 공역의 관계뿐만 아니라 공역과 치역 간의 포함 관계도 알 수 있다. 이는 컴퓨터 및 인공지능 시스템에서 자료의 활용을 계획하는 데 좋은 정보가 된다. 함수는 정의역과 공역의 대응 관계에 따라서 단사 함수, 전사 함수, 전단사 함수로 구분한다. 단사 함수(Injective Function, Injection, One-to-One Function) = 일대일 함수 함수 $f \; : \; X \rightarrow Y$ 가 있을 때, 임의의 두 정의역 원소 $x_{1}, \; x_{2} \; \in \; X$ 에 대하여 $x_{1} \ne x_{2}$ 이면 $f(x_{1}) \ne f(x_{2})$ 인 함..

함수의 개념 관계(Relation)는 두 집합의 원소들 사이의 대응을 정의한 것이다. 함수는 입력과 출력이 일대일로 대응하는 관계의 한 형태이다. 함수(Function : $f \; : \; A \rightarrow B$) 집합 `A` 에서 집합 `B` 로 가는 관계가 성립할 때, 집합 `A` 의 임의의 원소 `a` 에 대하여 집합 `B` 의 원소 `b` 하나가 대응되는 관계 함수 용어 정리 : 원상(Preimage), 상(Image), 정의역(Domain), 공역(Codomain), 치역(Range) 집합 `A` 에서 집합 `B` 로 가는 함수 $f \; : \; A \rightarrow B$ 에 대하여, ① 원상(Preimage) : 집합 `B` 의 원소 `b` 와 대응하는 집합 `A` 의 원소 `a..

이산 확률 변수 이산 확률 변수의 의미 동전을 두 번 던지는 게임에서 앞면이 나온 횟수를 `X` 로 나타내면, `X` 를 이용하여 앞면이 나온 횟수라는 특성에 따라 구분된 사건을 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다. $$\eqalign{ \{ HH \} &\Leftrightarrow X = 2 \\ \{ HT, TH \} &\Leftrightarrow X = 1 \\ \{ TT \} &\Leftrightarrow X = 0}$$ 그러므로 앞면이 나온 횟수인 `X` 는 아래와 같이 표본 공간 `S` 에서 실수 전체의 집합 `R` 로의 함수로 생각할 수 있다. 이 때 앞면이 나온 횟수인 `X` 를 확률 변수(Random Variable)라고 한다. 확률 변수(Random Variable) 표본 공간 `S`..

동치 관계와 부분 순서 관계 관계 `R` 이 어떤 성질을 갖느냐에 따라 관계에 의미를 부여하여 그 의미에 따라 관계의 순서쌍을 구성하는 원소들을 활용할 수 있다. 관계에 부여되는 의미에는 동치 관계나 부분 순서 관계가 있는데, 동치 관계의 경우 그 관계의 순서쌍을 구성하는 원소들이 같은 의미라는 것을 뜻하며, 부분 순서 관계의 경우는 그 관계의 순서쌍을 구성하는 원소들 사이에 순서가 존재한다는 것을 뜻한다. 동치 관계(Equivalence Relation) 반사 관계, 대칭 관계, 추이 관계가 모두 성립하는 관계 동치는 표현이 달라도 의미가 같아서 동등하게 사용할 수 있음을 의미한다. 예) 10진수 $7_{10}$ 과 2진수 $111_{2}$ 이 표현은 다르지만 같은 값으로 사용되므로 동치라고 할 수 있..

관계의 폐포 학번을 입력하면 학생의 이름을 비롯한 학생의 기타 정보를 검색할 수 있는 시스템이 있다고 하자. 하지만, 이 시스템은 등록된 전체 학생 중 재학생만 검색할 수 있다. 이 시스템에서 휴학생의 정보도 검색할 수 있으려면 휴학생의 학번과 정보도 추가해야할 것이다. 이처럼 자료 집합에 필요한 원소를 추가하여 특정 조건을 만족하도록 만드는 것을 관계의 폐포라고 한다. 관계의 폐포(Closure) 집합 `A` 에 대한 관계를 `R` 이라 하고 관계 `R` 이 가져야 하는 성질을 `P` 라고 할 때, 관계 `R` 을 포함하면서 성질 `P` 를 갖는 가장 작은 집합 `A` 에 대한 관계 `S` 성질 `P` 를 갖지 않는 관계 `R` 이 성질 `P`를 갖도록 순서쌍을 추가할 때는 반드시 필요한 최소한의 순서..

베이즈 정리 확률이 0이 아닌 사건들 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 이 어떤 사건 `B` 의 발생에 원인이 된다고 하자. 이 때, 주어진 사건 $A_{i}, \; i = 1, 2, \cdots, n$ 의 조건부 확률을 이용하여 사건 `B` 가 발생할 확률을 구할 수 있다. 또한 사건 `B` 가 발생했을 때, 사건 `B` 의 발생 요인들 중에서 어느 특정한 요인이 작용할 확률을 구할 수 있다. 전확률 공식(Formula of Total Probability) 확률이 0이 아닌 사건 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 을 표본 공간 `S` 의 분할이라 하면, 임의의 사건 `B` 의 확률은 다음과 같다. $$P(B) = \sum_{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A..

조건부 확률 어떤 제한된 조건 아래에서 확률을 계산해야 할 경우가 있다. 예) 내일 비가 오든지 그렇지 않든지 관계 없이 모레 비가 올 확률을 구하는 경우와 내일 비가 온다는 전제 조건 아래에서 모레 비가 올 확률은 다르게 나타난다. 조건부 확률의 정의 통계학 교과목을 수강하는 50명의 학생이 아래와 같이 구성되었을 때, 담당 교수가 이 학생들 중에서 임의로 선정한 학생이 2학년 남학생일 확률을 구한다고 하자. 구분 1학년 2학년 3학년 합계 남학생 22 6 3 32 여학생 13 4 2 16 합계 35 10 5 50 이 확률을 구하기 위해 선정된 학생이 남학생인 사건을 `A`, 선정된 학생이 2학년인 사건을 `B` 라고 하면 다음을 얻을 수있다. $$P(A) = \frac{32}{50}, \quad P(..

확률 확률의 의미 동전 하나를 던져서 앞면이 나올 가능성을 알아보자. 동전을 던져서 나올 수 있는 모든 경우는 앞면(`H`)과 뒷면(`T`) 뿐이다. 동전을 던지는 실험에서 표본 공간은 $S = \{ H, T \}$ 이고, 앞면이 나오는 사건은 $A = \{ H \}$ 로 나타낼 수 있다. 이 때, `H` 와 `T` 가 모두 같은 정도로 나온다고 가정하면 사건 `A` 가 일어날 가능성은 $\frac{1}{2}$ 라고 추측할 수 있다. 그리고 이러한 추측에는 동전이 공정하다는 전제 조건(앞면과 뒷면이 나올 가능성이 동등하다)이 필요하다. 그러면 사건 `A` 가 일어날 가능성인 숫자 $\frac{1}{2}$ 에 대해, 분모의 숫자 2는 표본 공간 안의 원소의 개수이고, 분자의 숫자 1은 사건 `A` 안에 있..

시행과 사건 동전 던지기나 주사위 던지기 등과 같은 어떤 통계적 실험을 실시할 때 나타날 수 있는 모든 경우에 대해, 특정한 실험 결과로 구성된 집합을 사건이라고 한다. 따라서 확률론에서 사용하는 용어인 사건은 집합의 개념과 동일하다. 시행(Trial) 동일한 조건 아래서 반복할 수 있으며, 그 결과가 우연에 의해 달라질 수 있는 실험 또는 관찰 동전을 던져서 앞면이 나오면 `H`, 뒷면이 나오면 `T`라고 할 때, 동전을 두 번 반복하여 던진다면 나올 수 있는 모든 경우는 $\{ HH, HT, TH, TT \}$ 뿐이다. 그리고 주사위를 한 번 던진다면 나올 수 있는 모든 경우는 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 뿐이다. 이와 같이 동일한 조건 아래에서 동전이나 주사위를 몇 번이고 반복하여 던질 수 있..

합성 관계 2개 이상의 관계를 이용해 새로운 관계를 만드는 것을 '관계를 합성한다'고 하고, 이렇게 만든 관계를 합성 관계라고 한다. 합성 관계(Composite Relation : $S \circ R$) 집합 `A` 에서 집합 `B` 로의 관계 `R` 과 집합 `B` 에서 집합 `C` 로의 관계 `S` 가 있을 때, 이 두 관계를 이용해 구하는 집합 `A` 에서 집합 `C` 로의 관계 $$S \circ R = \{(a, c) ∈ A \times C \; | \; a ∈ A, \; b ∈ B, \; c ∈ C, \; (a, b) ∈ R, \; (b, c) ∈ S \}$$ 합성 관계를 구하려면 둘 이상의 관계 사이에 공통으로 사용되는 자료 집합이 있어야 한다. 예 수강과목 담당교수 정보 학번 과목코드 교수..

관계의 성질 하나의 집합에 대한 관계의 경우, 순서쌍 원소의 구성에 따라 관계의 성질을 판별할 수 있다. 관계의 성질에는 반사, 비반사, 대칭, 반대칭, 추이 5가지가 있다. 반사 관계와 비반사 관계 반사 관계(Reflexive Relation) 집합 `A` 에 대한 관계 `R` 이 있을 때, 모든 $a ∈ A$ 에 대해 $(a, a) ∈ R$ 인 관계 ($Δ_{A} = \{ (a, a) \; | \; a ∈ A \}$) 비반사 관계(Irreflexive Relation) 집합 `A` 에 대한 관계 `R` 이 있을 때, 모든 $a ∈ A$ 에 대해 $(a, a) \not ∈ R$ 인 관계 집합 `A` 에 대한 관계 `R` 이 반사 관계이려면, 집합 `A` 에 포함되는 모든 원소 `a` 에 대해 자기 자신..

관계의 표현 관계는 일반적으로 순서쌍의 집합으로 표현하지만, 이 외에도 화살표 선도, 좌표 도표, 관계 행렬, 방향 그래프 등 여러 가지 방식으로 표현할 수 있다. 화살표 선도를 이용한 관계 표기 화살표 선도(Arrow Diagram) 집합 `A` 에서 집합 `B` 로 가는 관계 `R` 이 있을 때, 두 집합의 원소 간의 관계를 화살표로 나타낸 도표 화살표 선도에서 화살표의 방향은 관계에 포함되는 순서쌍의 앞에 오는 원소에서 시작하여 뒤에 오는 원소로 향하도록 한다. 역관계의 경우, 관계 `R` 의 화살표 선도와 화살표 방향이 반대이다. 좌표 도표를 이용한 관계 표기 좌표 도표(Coordinate Diagram) 집합 `A` 에서 집합 `B` 로 가는 관계 `R` 이 있을 때, 집합 `A` (정의역)의 ..

관계의 개념 인공지능은 데이터베이스에 저장된 지식을 활용하여 새로운 지식을 생성하거나 문제를 해결한다. 데이터베이스는 자료를 효율적으로 처리할 수 있도록 관련 있는 자료를 중복 없이 통합한 집합으로, 구조화된 자료 형태이다. 이처럼 구조화된 자료에 의미 있는 관계를 부여하면 새로운 정보를 만들 수 있고, 같은 자료 사이의 관계라고 하더라도 부여된 관계에 따라 전혀 다른 정보가 될 수 있다. 그러므로 데이터베이스에 저장된 자료 자체뿐 아니라 그 자료 사이의 관계는 인공지능이 지식을 생성하고 판단하는데 큰 영향을 미친다. 다음과 같은 자료 집합이 존재하고, 각 집합에 포함된 자료는 오류와 중복이 없어 정보를 제공하는 데 충분하다고 가정하자. 위 그림처럼 자료 집합을 개별적인 정보만으로 구성한다면 학생, 전공..

문제 무한히 큰 배열에 다음과 같이 분수들이 적혀있다. 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 … 2/1 2/2 2/3 2/4 … … 3/1 3/2 3/3 … … … 4/1 4/2 … … … … 5/1 … … … … … … … … … … … 이와 같이 나열된 분수들을 1/1 → 1/2 → 2/1 → 3/1 → 2/2 → … 과 같은 지그재그 순서로 차례대로 1번, 2번, 3번, 4번, 5번, … 분수라고 하자. X가 주어졌을 때, X번째 분수를 구하는 프로그램을 작성하시오. 입력 첫째 줄에 X(1 ≤ X ≤ 10,000,000)가 주어진다. 출력 첫째 줄에 분수를 출력한다. 예제 입력 1 1 예제 출력 1 1/1 예제 입력 2 2 예제 출력 2 1/2 예제 입력 3 3 예제 출력 3 2/1 예제 입력 4 4..

이산 수학 집합의 분할

집합의 분할 인공지능에서 지식의 자원이 되는 데이터를 관리하려면 일정한 기준으로 전체 데이터를 분류하는 과정이 필요하다. 이 과정을 통해 분류한 데이터 집합은 반드시 하나 이상의 데이터를 포함해야 하고, 데이터 집합을 모두 합쳤을 때는 제외된 데이터가 없어야 한다. 또한 분류한 집합 사이에 공통으로 포함되는 데이터가 존재하지 않아야 한다. 이렇게 보유한 데이터를 정확하게 분류해서 관리해야 인공지능이 쓸데없는 추론 과정을 수행하지 않으면서 정확한 정보를 추론할 수 있다. 이러한 인공지능의 데이터 관리에 적용할 수 있는 개념이 집합의 분할이다. 분할(Partition : $A = \{A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} \}$ ) 공집합이 아닌 임의의 집합 $A$ 를 서로소이면서 공집합이 아닌 ..

집합의 대수 법칙 수에 대한 사칙 연산에도 일정한 규칙이 있듯이, 집합 연산에도 일정한 규칙이 있다. 이를 집합의 대수 법칙이라고 하는데, 대수 법칙을 이용하면 복잡한 집합 연산을 간단히 할 수 있다. 집합의 대수 법칙 집합 연산 법칙 $A ∪ \varnothing = A$ $A ∩ U = A$ 항등 법칙(Identity Law) $A ∪ U = U$ $A ∩ \varnothing = \varnothing$ 지배 법칙(Domination Law) $A ∪ A = A$ $A ∩ A = A$ 멱등 법칙(Idempotent Law) $A ∪ B = B ∪ A$ $A ∩ B = B ∩ A$ 교환 법칙(Commutative Law) $A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C$ $A ∩ (B ∩ C) = (A..

집합의 연산 집합과 집합의 연산을 통해 새로운 집합을 구할 수 있다. 합집합과 교집합 합집합(Union : $A ∪ B$ ) 집합 `A` 와 `B` 에 모두 속하거나 둘 중 한 집합에만 속하는 원소들로 이루어진 집합 $$A ∪ B = \{ x \; | \; x ∈ A \lor x ∈ B \}$$ 합집합은 두 집합에 포함된 원소들을 모두 합쳐서 새로운 집합을 만드는 연산으로, 두 집합에 공통으로 존재하는 원소는 한 번만 작성한다. 예) $A = \{1, 2, 3, 4, 5 \}, \; B = \{4, 5, 6, 7 \}$ 일 때, $A ∪ B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \}$ 교집합(Intersection: $A ∩ B$ ) 집합 `A` 와 `B` 에 모두에 속하는 원소들로 이루어진 집합..

이산 수학 집합의 종류

집합의 종류 집합은 구성되는 원소의 개수나 집합 간의 포함 관계에 따라 명칭이 정의된다. 전체 집합(Universal Set : $U$ ) 논의 대상이 되는 원소 전체를 포함하는 집합 전체 집합은 논의 대상에 따라 달라질 수 있으므로, 주어지는 문제에 따라 달라질 수 있다. 예) 집합 $A = \{ a \; | \; a > 13, \; a ∈ \mathbb{N} \}$ 가 주어질 때, 문제에 따라 집합 `A` 에 대한 전체 집합은 자연수 집합 $\mathbb{N}$ 이 될 수 있고, 집합 `A` 자체가 될 수 있다. 그러므로 전체 집합에 대한 판단은 문제에 따라 달라진다. 공집합(Empty Set : $\varnothing$ ) 원소를 하나도 포함하지 않는 집합으로 기수가 0인 집합 ($|\varnoth..