[확률과 통계] 시행과 사건

시행과 사건

• 동전 던지기나 주사위 던지기 등과 같은 어떤 통계적 실험을 실시할 때 나타날 수 있는 모든 경우에 대해, 특정한 실험 결과로 구성된 집합을 사건이라고 한다.
• 따라서 확률론에서 사용하는 용어인 사건은 집합의 개념과 동일하다.

 

시행(Trial)

동일한 조건 아래서 반복할 수 있으며, 그 결과가 우연에 의해 달라질 수 있는 실험 또는 관찰

• 동전을 던져서 앞면이 나오면 `H`, 뒷면이 나오면 `T`라고 할 때, 동전을 두 번 반복하여 던진다면 나올 수 있는 모든 경우는 $\{ HH, HT, TH, TT \}$ 뿐이다.
• 그리고 주사위를 한 번 던진다면 나올 수 있는 모든 경우는 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 뿐이다.
• 이와 같이 동일한 조건 아래에서 동전이나 주사위를 몇 번이고 반복하여 던질 수 있으며, 매번 나오는 결과는 달라질 수 있다.

 

예제 : 주사위를 두 번 반복하여 던지는 시행에서 나타날 수 있는 모든 경우의 수를 구하여라.

주사위를 던져서 나올 수 있는 모든 눈은 $\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 뿐이고, 처음 나온 결과가 두 번째 눈이 나오는 데 영향을 미치지 않으므로 두 번째 나올 수 있는 눈은 $\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$ 이다.

따라서 주사위를 두 번 반복하여 던지는 시행에서 나타날 수 있는 모든 경우는 다음과 같다.

 

$\begin{Bmatrix} (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) \\ (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) \\(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) \\(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) \\(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) \\(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) \end{Bmatrix}$

 

독립 시행(Independent Trial)

동일한 조건에서 어떤 시행을 반복할 때, 각 시행의 결과가 이전 시행의 결과에 영향을 받지 않는 시행

• 동일한 조건에 아래에서 동전을 두 번 던질 경우에, 처음에 앞면 아니면 뒷면만 나온다.
• 그리고 두 번째 동전을 던져서 나오는 결과는 첫 번째 결과에 관계 없이 앞면 또는 뒷면 중에서 어느 하나가 나온다.
• 이와 같은 시행을 독립 시행이라고 한다.

 

복원 추출(Replacement)과 비복원 추출(Without Replacement)

• 흰 바둑돌 3개와 검은 바둑돌 2개가 들어있는 주머니에서 두 번 반복하여 바둑돌을 꺼낼 경우, 첫 번째 꺼낸 바둑돌이 흰색이고 이 바둑돌을 확인한 후에 다시 주머니에 넣는다면 주머니 안의 바둑돌은 변화가 없다.
  • 따라서 두 번째 바둑돌을 꺼내면 흰색 3개와 검은색 2개 중에서 어느 하나가 나오게 된다.
  • 따라서 처음에 흰색이 나오더라도 두 번째 시행에서 흰색 또는 검은색 바둑돌이 나오는 가능성은 동일하다.
  • 이와 같이 임의로 바둑돌 하나를 꺼내어 확인한 후에 이 바둑돌을 다시 주머니에 넣는 방법으로 바둑돌을 반복하여 꺼내는 시행은 독립 시행이다.
  • 이러한 방식을 복원 추출(Replacement)이라고 한다.
• 하지만, 첫 번째 나온 흰색 바둑돌을 주머니에 다시 넣지 않고 두 번째 바둑돌을 꺼낸다면, 주머니 안에 흰색 2개와 검은색 2개 중에서 어느 하나가 나오게 된다.
  • 따라서 주머니 안의 바둑돌에 변화가 생기므로, 두 번째 시행에서 흰색 또는 검은색이 나올 가능성이 첫 번째와 다르게 된다.
  • 그러므로 이러한 방법에 의해 바둑돌을 꺼내는 시행은 독립 시행이 아니다.
  • 이러한 방식을 비복원 추출(Without Replacement)이라고 한다.

복원 추출과 비복원 추출

 

예제 : 번호가 적인 흰색 바둑돌 w1, w2와 검은색 바둑돌 b1, b2가 들어 있는 주머니에서 처음에 흰색 바둑돌 w1이 나왔다. 다음 방법에 따라 두 번째 바둑돌을 꺼낼 때, 나올 수 있는 모든 경우를 구하라.

(a) 복원 추출

(b) 비복원 추출

(a)

처음 꺼낸 바둑돌을 주머니 안에 다시 넣으므로, 주머니 안에 들어있는 바둑돌은 변화가 없다.

따라서 두 번째 꺼낼 때 나올 수 있는 모든 경우는 w1, w2, b1, b2 이다.

 

(b)

처음 꺼낸 바둑돌 w1을 주머니 안에 다시 넣지 않으므로, 주머니 안에 들어있는 바둑돌은 {w2, b1, b2} 이다. 

따라서 두 번째 꺼낼 때 나올 수 있는 모든 경우는 w2, b1, b2 이다.

 

사건(Event)

• 동전을 두 번 반복하여 던질 때 나타날 수 있는 모든 경우는 HH, HT, TH, TT 뿐이다. 이 때, 적어도 한 번이 앞면에 나오는 경우는 HH, HT, TH 이다.
• 이와 같이 어떤 시행에서 나타날 수 있는 모든 결과들의 집합과 그 집합의 부분 집합인 특정한 성질을 만족하는 원소들로 이루어진 집합을 생각할 수 있다.

 

표본 공간(Sample Space)

어떤 시행 결과로 기록되거나 관찰될 수 있는 모든 결과들의 집합

 

원소(Element) 또는 표본점(Sample Point)

시행에서 나타날 수 있는 개개의 결과

 

• 일반적으로 표본 공간은 `S` 로 나타낸다.
• 예)
  • 동전을 두 번 반복하여 던지는 경우에 대한 표본 공간은 $S = \{ HH, HT, TH, TT \}$ 이다.
  • 표본 공간 `S` 의 부분 집합인 $A = \{ HH, HT, TH \}$ 는 동전을 두 번 던져서 적어도 한 번 앞면이 나오는 경우를 나타낸다.
• 이와 같이 표본 공간의 부분 집합으로 어떤 특정한 성질을 만족하는 집합을 사건이라 한다.

 

사건(Event)

표본 공간의 부분 집합

• 보편적으로 사건은 대문자 `A` 로 나타낸다.

 

근원 사건(Elementary Event)

단 하나의 원소로 구성된 사건

 

공사건(Empty Event, $\varnothing$)

원소가 하나도 들어있지 않은 사건

 

예제 : 동전을 세 번 반복하여 던지는 게임을 할 때, 표본 공간 `S` 와 적어도 두 번 앞면이 나오는 사건 `A` 를 구하라.

동전을 반복하여 던지는 시행은 독립 시행이므로 표본 공간은 다음과 같다.

$S =\{ HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT \}$

이 때, 적어도 두 번 앞면이 나오는 사건은 $A = \{ HHH, HHT, HTH, THH \}$ 이다.

 

합사건(Union of Events)

어떤 시행에서 일어날 수 있는 임의의 두 사건 `A` 와 `B` 에 대해 `A` 또는 `B` 가 발생하는 사건
이 사건은 합집합과 동일한 의미를 가지며, 다음과 같다.

$$A ∪ B = \{ w \; | \; w ∈ A \; \text{또는} \; w ∈ B \}$$

 

곱사건(Intersection of Events)

어떤 시행에서 일어날 수 있는 임의의 두 사건 `A` 와 `B` 에 대해 `A` 와 `B` 가 동시에 발생하는 사건
이 사건은 교집합과 동일한 의미를 가지며, 다음과 같다.

$$A ∩ B = \{ w \; | \; w ∈ A \; \text{그리고} \; w ∈ B \}$$

 

배반 사건(Mutually Exclusive Events)

임의의 두 사건 `A` 와 `B` 에 대해 `A` 와 `B` 가 공통인 원소를 갖지 않는 경우, 즉 두 사건 `A` 와 `B` 가 동시에 발생하지 않는 경우 이 두 사건을 서로 배반(Mutually Exclusive)이라 한다.
따라서 두 사건 `A` 와 `B` 가 배반 사건이라 하면, 다음을 만족한다.

$$A ∩ B = \varnothing$$

 

• 그리고 `n` 개의 사건 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 중에서 다음과 같이 임의의 두 사건을 선정할 때, 이 두 사건이 서로 배반인 경우에 사건 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 을 쌍마다 배반 사건(Pairwisely Mutually Exclusive Events)이라 한다.

$$A_{i} ∩ A_{j} = \varnothing, \quad i ≠ j, \quad i, j = 1, 2, 3, \cdots, n$$

 

• 특히 사건 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 이 쌍마다 배반이고, 이 사건들의 합사건이 표본 공간 `S` 와 같을 때, 이 사건들을 표본 공간 `S` 의 분할(Partition)이라 한다.

 

차사건(Difference of Events)

사건 `A` 안에 포함되지만, 사건 `B` 안에 포함되지 않는 원소로 구성된 사건

$$A - B = \{ w \; | \; w ∈ A \; \text{그리고} \; w \not∈ B \}$$

 

여사건(Complementary Event)

사건 `A` 안에 포함되지 않는 원소로 구성된 사건
이 사건은 여집합과 동일한 의미를 가지며, 다음과 같다.

$$A^{C} = \{ w \; | \; w ∈ S \; \text{그리고} \; w \not∈ A \}$$

 

사건의 벤 다이어그램

 

예제 : 주사위를 던지는 실험에서 사건 $A = \{ 1, 2, 3, 4\}, \; B = \{4, 5 \}, \; C = \{ 5, 6\}$ 에 대해 다음을 구하여라.

(a) $A ∩ B$

(b) $A ∪ B$

(c) $A^{c}$

(d) $B - C$

(e) 배반인 두 사건

(a)

$A ∩ B = \{ 4 \}$

 

(b)

$A ∪ B = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$

 

(c)

$S = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$ 이므로, $A^{c} = \{ 5, 6 \} = C$

 

(d)

$B - C = \{ 4 \}$

 

(e)

$A^{C} = C$ 이므로, $A ∩ C = \varnothing$ 이고, $A ∪ C = S$ 이다. 

따라서 두 사건 `A` 와 `C` 는 `S` 의 분할이다.

 

사건의 연산

• 임의의 두 사건 `A` 와 `B` 에 대해 합사건, 곱사건, 여사건은 다음과 같은 성질을 갖는다.

 

합사건의 성질

(1) $A ∪ A = A$
(2) $A ∪ B = B ∪ A$    (교환 법칙)
(3) $A ∪ \varnothing = A$
(4) $A ∪ A^{C} = S$
(5) $A ∪ S = S$
(6) $(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)$    (결합 법칙)

 

곱사건의 성질

(1) $A ∩ A = A$
(2) $A ∩ B = B ∩ A$    (교환 법칙)
(3) $A ∩ \varnothing = \varnothing$
(4) $A ∩ A^{C} = \varnothing$
(5) $A ∩ S = A$
(6) $(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)$    (결합 법칙)

 

여사건의 성질

$$(A^{C})^{C} = A$$

 

분배 법칙

• 세 사건 `A, B, C` 에 대해 다음과 같이 두 사건의 합사건과 다른 사건의 곱사건, 그리고 두 사건의 곱사건과 다른 사건의 합사건으로 풀어서 표현할 수 있다.

(1) $(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)$
(2) $(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)$

 

드 므로간의 법칙

• 다음과 같이 두 사건의 합사건과 곱사건의 여사건을 각각의 여사건을 이용하여 나타낼 수 있다.

(1) $(A ∪ B)^{C} = A^{C} ∩ B^{C}$
(2) $(A ∩ B)^{C} = A^{C} ∪ B^{C}$

 

• 두 사건 `A` 와 `B` 에 대해, $A ⊂ B$ 이면, 다음과 같이 나타낸다.

• 이러한 경우에 `A` 와 `B` 의 합사건과 곱사건은 각각 다음과 같다.

$$A ⊂ B \quad \Rightarrow \quad A ∪ B = B, \; A ∩ B =  A$$

• 또한, $A ⊂ B$ 인 사건 `B` 를 서로 배반인 두 사건 `A` 와 `B - A` 의 합사건으로 표현할 수 있다.

$$A ⊂ B \quad \Rightarrow \quad B = A ∪ (B - A)$$