집합 `A` 에 대한 함수 $f : A \rightarrow A$ 가 $f(a) = a$ 로 정의되는 관계
항등 함수가 성립하려면 함수의 정의역, 공역, 치역 집합이 모두 상등이어야 한다.
항등 함수는 정의역의 원소 $x_{1}, x_{2}$ 가 $x_{1} \ne x_{2}$ 일 때 $f(x_{1}) = x_{1} \ne x_{2} = f(x_{2})$ 이므로 단사 함수이고, 모든 공역의 원소 `y` 에 대하여 `f(x) = y` 를 만족하는 정의역 원소 `x` 를 가지므로 전사 함수이다.
따라서 항등 함수는 전단사 함수이다.
예
집합 $A = \{-1, 0, 1 \}$ 에 대한 함수 $f_{1}(x) = x$ 와 $f_{2}(x) = |x|$ 를 살펴보자.
각 함수에 대한 순서쌍은 다음과 같다.
$f_{1}(x) = x$ 의 경우, $f_{1} = \{(-1, -1), (0, 0), (1, 1) \}$ $f_{2}(x) = |x|$ 의 경우, $f_{2} = \{(-1, -1), (0, 0), (1, 1) \}$
함수 $f_{1}$ 의 순서쌍을 보면 모두 정의역 원소 `x` 가 공역의 같은 원소 `x` 에 대응한다.
함수 $f_{1}$ 처럼 함수의 입력값과 출력값이 같은 함수를 항등 함수라고 한다.
반면, 함수 $f_{2}$ 의 순서쌍을 보면 정의역 원소 `-1` 이 공역의 다른 원소 `1` 과 대응한다.
이처럼 하나의 원소라도 다른 출력을 내면 항등 함수가 아니다.
항등 함수와 합성
함수 $f : A \rightarrow B$ 가 있고 집합 `A` 에 대한 항등 함수가 $I_{A}$, 집합 `B` 에 대한 항등 함수가 $I_{B}$ 일 때, $$f \circ I_{A} = I_{B} \circ f = f $$
증명
$a \in A$ 이고 $b \in B$ 일 때 $f(a) = b$ 라고 가정하자.
항등 함수 $I_{A}$ 의 경우 $I_{A}(a) = a$, 항등 함수 $I_{B}$ 의 경우는 $I_{B}(b) = b$ 이다.
$f \circ I_{A} = f(I_{A}(x))$ 에 대하여 $f(I_{A}(1)) = f(1) = c$, $f(I_{A}(2)) = f(2) = a$, $f(I_{A}(3)) = f(3) = d$ 이므로 다음이 성립한다.
$$f \circ I_{A} = \{(1, c), (2, a), (3, d)\}$$
또한 $I_{B} \circ f = I_{B}(f(x))$ 에 대하여 $I_{B}(f(1)) = I_{B}(c) =c$, $I_{B}(f(2)) = I_{B}(a) = a$, $I_{B}(f(3)) = I_{B}(d) = d$ 이므로 다음이 성립한다.
$$I_{B} \circ f = \{(1, c), (2, a), (3, d) \}$$
그러므로 $f \circ I_{A} = I_{B} \circ f = f$ 이다.
역함수(Inverse Function : $f^{-1}$ )
전단사 함수 $f : A \rightarrow B$ 에 대해 $B \rightarrow A$ 로 대응되는 관계 $a \in A, \; b \in B$ 에 대해 $f(a) = b$ 일 때, $f^{-1}(b) = a$ ($f(a)$ : 가역 함수, $f^{-1}(b)$ : 역함수)
※ 가역 함수(Invertible Function) : 전단사 함수로, 역함수가 존재하는 함수
역관계는 모든 관계에 대해 구할 수 있지만, 역함수는 전단사 함수에 대해서만 구할 수 있다.
위의 정의를 보면 가역 함수 `f` 의 정의역인 집합 `A` 는 역함수 $f^{-1}$ 의 공역이고, 가역 함수 `f` 의 공역인 집합 `B` 는 역함수 $f^{-1}$ 의 정의역이다.
따라서 함수 `f` 의 어떤 공역 원소가 2개 이상의 정의역 원소와 대응하지 않는다면(`f` 가 전사 함수가 아닌 경우) 함수 `f` 의 역관계 $f^{-1}$ 는 함수가 될 수 없으므로 함수 `f` 의 역함수는 존재하지 않는다.
예
$$f_{1} : \{1, 2, 3 \} \rightarrow \{ a, b, c, d \}, \; f_{1} = \{(1, b), (2, c), (3, d) \} \\ f_{2} : \{1, 2, 3 \} \rightarrow \{ a, b \}, \; f_{2} = \{(1, a), (2, b), (3, a) \}$$
단사 함수인 $f_{1}$ 의 역함수 $f_{1}^{-1}$ 를 구하려고 한다면, $f_{1}$ 의 공역이 $f_{1}^{-1}$ 의 정의역이 되는데, $f_{1}^{-1}$ 의 정의역 원소 중 `a` 와 대응하는 $f_{1}^{-1}$ 의 공역 원소가 존재하지 않는다.
따라서 $f_{1}^{-1}$ 는 함수가 아니다.
또한 전사 함수인 $f_{2}$ 의 역함수 $f_{2}^{-1}$ 를 구하려고 한다면, $f_{2}$ 의 공역이 $f_{2}^{-1}$ 의 정의역이 되는데, $f_{2}$ 의 공역이면서 $f_{2}^{-1}$ 의 정의역 원소 `a` 와 대응하는 원소가 `1, 3` 으로 2개 존재한다.
따라서 $f_{2}^{-1}$ 는 함수가 아니다.
이처럼 전단사 함수가 아닌 함수 `f` 의 역함수 $f^{-1}$ 를 구할 때는 $f^{-1}$ 가 함수가 아닌 경우가 있으므로 단사 함수만 성립하거나 전사 함수만 성립하는 함수는 역함수를 구할 수 없다.
반면, 전단사 함수인 경우에는 함수 `f` 의 공역이 함수 $f^{-1}$ 의 정의역이 되더라도 항상 $f^{-1}$ 가 함수이므로 역함수를 구할 수 있다.
$$f : \{1, 2, 3 \} \rightarrow \{ a, b, c \}, \; f = \{(1, a), (2, b), (3, c) \}$$
함수 `f` 는 전단사 함수이다.
함수 `f` 의 공역인 집합 $\{ a, b, c \}$ 는 역함수 $f^{-1}$ 의 정의역이고, $f^{-1}$ 의 모든 정의역 원소는 $f^{-1}$ 의 공역의 원소와 하나씩 대응하므로 역함수 $f^{-1}$ 을 구할 수 있다.
이처럼 전단사 함수는 역함수를 구할 수 있는 가역 함수이다.
함수 `f` 의 $f^{-1}$ 는 다음과 같다.
$$f^{-1} = \{(a, 1), (b, 2), (c, 3) \}$$
항등 함수와 역함수의 관계
전단사 함수 $f : A \rightarrow B$ 에 대하여 다음이 성립한다.
① $f^{-1} \circ f = I_{A}$ ② $f \circ f^{-1} = I_{B}$
증명
$a \in A, \; b \in B$ 에 대해 $f(a) = b$ 이면 함수 `f` 는 가역 함수(전단사 함수)이므로 $f^{-1}(b) = a$ 이다.
따라서 $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ 가 성립한다.
상수 함수(Constant Function)
함수 $f : A \rightarrow B$ 에서 집합 `A` 의 모든 원소가 집합 `B` 의 원소 하나에만 대응하는 관계 $$\forall a \in A, \; \exists b \in B \text{ 에 대해} \; f(a) = b$$
상수 함수는 `n` 개의 공역 원소 중 단 하나의 원소만이 정의역의 원소들과 대응하는 함수를 말한다.
그러므로 정의역 원소와 공역 원소가 모두 `n(> 1)` 개 이상인 상수 함수는 단사 함수도, 전사 함수도 아니다.
만약 정의역 원소는 1개이고 공역 원소가 `n( > 1)` 개 이상이면 그 상수 함수는 단사 함수이지만, 전사 함수는 아니다.
반면, 정의역 원소가 `n(> 1)` 개 이상이고 공역 원소가 1개이면 이 상수 함수는 단사 함수는 아니고 전사 함수이다.
그러므로 정의역 원소와 공역 원소가 모두 1개인 상수 함수가 전단사 함수이다.
상수 함수 $f : A \rightarrow B$ 를 그래프로 표현하면 다음과 같다.
상수 함수
예
$f_{1} : \{ w, x, y, z \} \rightarrow \{ a, b, c, d \}, \; f_{1} = \{(w, a), (x, a), (y, a), (z, a) \}$
$f_{2} : Z \rightarrow R, \; f_{2}(x) = 10$
특성 함수(Characteristic Function : $f_{A}$ )
전체 집합 `U` 의 부분 집합인 `A` 에 대하여 다음과 같은 출력을 갖는 함수 $$f_{A}(x) = \begin{cases}1, & x \in A \text{ 일 때} \\ 0, & x \not \in A \text{ 일 때} \end{cases}$$
관계 행렬 $M_{R}$ 은 관계 `R` 에 순서쌍 원소가 있으면 `1`, 없으면 `0` 으로 표기하는 방법이다.
함수 중에도 관계 행렬처럼 어떤 집합의 조건에 맞는 원소의 존재 유무를 판별하는 함수가 있는데, 이를 특성 함수라고 한다.
특성 함수는 입력값이 조건에 맞는 원소이면 `1`, 아니면 `0` 으로 출력하므로 특성 함수의 공역은 2개의 원소 `1` 과 `0` 으로 구성된다.
예
함수 $g : \{ x | x \ge 0, \; x \in Z \} \rightarrow \{ 0, 1 \}, \; g(x) = \begin{cases} 0, & x\text{가 짝수일 때} \\ 1, & x \text{가 홀수일 때} \end{cases}$ 는 정의역의 원소 중 짝수는 `0` 을 출력하고 홀수는 `1` 을 출력하는 전형적인 특성 함수이다.
바닥 함수(Floor Function : $\lfloor x \rfloor$) = 최대 정수 함수(Greatest Integer Function)
$x \in R$ 에 대해 `x` 보다 작거나 같은 정수 중 가장 큰 정수를 구하는 함수 $$\lfloor x \rfloor = n \quad \Leftrightarrow \quad n \le x < n + 1, \; n \in Z$$
전 세계적으로 유일하게 대한민국에서 바닥 함수를 가우스 함수라고 부르고, $[x]$ 와 같이 표기한다.
천정 함수(Ceiling Function : $\lceil x \rceil$) = 최소 정수 함수(Least Integer Function)
$x \in R$ 에 대해 `x` 보다 크거나 같은 정수 중 가장 작은 정수를 구하는 함수 $$\lceil x \rceil = n \quad \Leftrightarrow \quad n - 1 < x \le n, \; n \in Z$$
바닥 함수와 천정 함수는 모두 정수형 근삿값을 구하는 함수로, 어떤 실수 `a` 에 가장 가까운 정수를 구한다.
Microsoft Student (2023)
