[확률과 통계] 조건부 확률

조건부 확률

• 어떤 제한된 조건 아래에서 확률을 계산해야 할 경우가 있다.
  • 예) 내일 비가 오든지 그렇지 않든지 관계 없이 모레 비가 올 확률을 구하는 경우와 내일 비가 온다는 전제 조건 아래에서 모레 비가 올 확률은 다르게 나타난다.

 

조건부 확률의 정의

• 통계학 교과목을 수강하는 50명의 학생이 아래와 같이 구성되었을 때, 담당 교수가 이 학생들 중에서 임의로 선정한 학생이 2학년 남학생일 확률을 구한다고 하자.

구분	1학년	2학년	3학년	합계
남학생	22	6	3	32
여학생	13	4	2	16
합계	35	10	5	50

• 이 확률을 구하기 위해 선정된 학생이 남학생인 사건을 `A`, 선정된 학생이 2학년인 사건을 `B` 라고 하면 다음을 얻을 수있다.

$$P(A) = \frac{32}{50}, \quad P(A∩B) = \frac{6}{50}$$

• 이제 선정한 학생이 남학생이라는 조건 아래에서 그 학생이 2학년일 확률을 구한다고 하자.
• 그러면 구하고자 하는 확률은 전제 조건으로 32명의 남학생들만 생각하며, 그 중에서 2학년 학생이 선정될 확률을 의미한다.
• 따라서 구하고자 하는 확률을 $P(B|A)$ 라 하면, $P(B|A) = \frac{6}{32}$ 이다.
• 이 확률의 구조를 살펴보기 위해, 확률 $P(B|A)$ 의 분모와 분자를 각각 50으로 나누면 다음과 같다.

$$P(B|A) = \frac{6}{32} = \frac{6/50}{32/50} = \frac{P(A∩B)}{P(A)}$$

• 그러므로 확률 $P(B|A)$ 는 남학생이 선정될 확률 $P(A)$ 에 대한 2학년 남학생이 선정될 확률 $P(A∩B)$ 의 비율인 것을 알 수 있다.
• 이와 같은 특정한 조건이 주어졌을 때, 그 조건 아래서 어떤 사건이 발생할 확률을 구할 수 있다.

 

조건부 확률(Conditional Probability)

$P(A) > 0$ 인 어떤 사건 `A` 가 주어졌다고 할 때, 사건 `B` 가 나타날 확률을 조건부 확률(Conditional Probability)이라 하며, $P(B|A)$ 로 나타낸다.

• 다음과 같이 표본 공간을 주어진 사건 `A` 로 제한한 사건 `B`, 즉 $A ∩ B$ 에 대해 생각해 볼 수 있다.

조건부 확률의 의미

• 따라서 조건부 확률 $P(B|A)$ 는 다음과 같이 확률 `P(A)` 에 대한 `P(A∩B)` 의 비율을 나타낸다.

$$P(B|A) = \frac{P(A∩B)}{P(A)}, \quad P(A) > 0$$

 

예제 : 주사위를 두 번 던지는 게임에서 처음에 3의 배수가 나왔다는 조건 아래서 두 번째도 3의 배수가 나올 확률을 구하라.

주사위를 두 번 던져서 처음에 3의 배수가 나오는 사건을 `A`, 두 번째에 3의 배수가 나오는 사건을 `B` 라 하면 다음을 얻을 수 있다.

$$A = \begin{Bmatrix} (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) \\ (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) \end{Bmatrix} \\ B = \begin{Bmatrix} (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3) \\ (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6) \end{Bmatrix} \\ A ∩ B = \{ (3, 3), (3, 6), (6, 3), (6, 6) \}$$

따라서 $P(A) = \frac{1}{3}, \; P(A∩B) = \frac{1}{9}$ 이고, 구하고자 하는 확률은 다음과 같다.

$$P(B|A) = \frac{P(A∩B)}{P(A)} = \frac{1/9}{1/3} = \frac{1}{3}$$

 

곱의 법칙(Multiplication Late)

• 조건부 확률의 정의로부터 $P(A) > 0, \; P(B) > 0$ 이면 다음이 성립한다.

$$P(B|A) = \frac{P(A∩B)}{P(A)} \\ P(A|B) = \frac{P(A∩B)}{P(B)}$$

• 따라서 두 사건 `A` 와 `B` 의 곱사건 $A∩B$ 의 확률 $P(A∩B)$ 는 다음과 같이 조건부 확률을 이용하여 표현할 수 있으며, 이를 곱의 법칙(Multiplication Law)이라 한다.

$$P(A ∩ B) = \begin{cases} P(A)P(B|A), & P(A) > 0 \\ P(B)P(A|B), & P(B) > 0 \end{cases}$$

 

• 곱의 법칙은 3개 이상의 사건에 적용할 수 있으며, 특히 사건 `A, B, C` 에 적용하면 다음과 같다.

$$P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B|A)P(C|A∩B), \quad P(A∩B) > 0$$

 

예 : 흰색 공 3개와 검은색 공 4개가 들어있는 주머니에서 비복원 추출로 공 3개를 차례대로 꺼낼 경우

• 흰색, 검은색, 흰색의 순서로 나올 확률을 구하기 위해, 첫 번째 꺼낸 공이 흰색인 사건을 `A`, 두 번째 꺼낸 공이 검은색인 사건을 `B`, 세 번째 꺼낸 공이 흰색인 사건을 `C` 라고 하자.
• 그러면 첫 번째 공을 꺼낼 때 주머니 안에 흰색 공 3개와 검은색 공 4개가 들어 있으므로 $P(A) = \frac{3}{7}$ 이다.
• 비복원 추출에 의해 첫 번째 흰색 공이 나왔으므로 주머니 안에는 흰색 공 2개와 검은색 공 4개가 들어있다.
• 이 주머니에서 꺼낸 공이 검은색일 확률은 $P(B|A) = \frac{4}{6}$ 이다.
• 두 번째 시행까지 흰색과 검은색을 각각 하나씩 꺼냈으므로 세 번째 공을 꺼낼 주머니에는 흰색 공 2개와 검은색 공 3개가 들어 있다.
• 따라서 세 번째 꺼낸 공이 흰색일 확률은 $P(C|A∩B) = \frac{2}{5}$ 이다.
• 그러면 이 주머니에서 흰색, 검은색, 흰색의 순서로 공이 나올 확률은 곱의 법칙에 의해 다음과 같다.

$$P(A∩B∩C) = P(A)P(B|A)P(C|A∩B) = \frac{3}{7} \times \frac{4}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{35}$$

 

예제 : 주사위를 두 번 던지는 게임에서 두 번 모두 3의 배수가 나올 확률을 구하라.

주사위를 두 번 던져서 첫 번째에 3의 배수가 나오는 사건을 `A`, 두 번째에 3의 배수가 나오는 사건을 `B` 라고 하자. 

$P(A) = \frac{1}{3}$ 이고, 처음에 3의 배수가 나왔다는 조건 아래에서 두 번째에 3의 배수가 나오는 사건은 $\{(3, 3), (3, 6), (6, 3), (6, 6) \}$ 이다.

 

확률 $P(B|A)$ 는 사건 `A` 에서 두 번째 주사위 눈이 3의 배수일 확률이므로 $P(B|A) = \frac{4}{12}$ 이다.

따라서 두 눈의 수가 모두 3의 배수일 확률은 다음과 같다.

$$P(A∩B) = P(A)P(B|A) = \frac{1}{3} \times \frac{4}{12} = \frac{1}{9}$$

 

독립과 종속

• 주사위를 두 번 던지는 게임에서 두 번 모두 3의 배수가 나올 확률을 다시 생각해보자.
  • 주사위를 두 번 던져서 첫 번째에 3의 배수가 나오는 사건을 `A`, 두 번째에 3의 배수가 나오는 사건을 `B` 라고 하자. 
  • 그러면 첫 번째에 3의 배수가 나왔다는 조건 아래에서 두 번째에 3의 배수가 나올 조건부 확률은 $P(B|A) = \frac{1}{3}$ 이다.
  • 한편, 주사위를 반복해서 던지는 시행은 독립 시행이므로 첫 번째 눈의 수에 관계 없이 두 번째 나온 눈의 수가 3의 배수일 확률은 $P(B) = \frac{1}{3}$ 이다.
  • 즉, $P(B|A) = P(B) = \frac{1}{3}$ 이다.
  • 이와 같이 사전에 발생한 어떤 사건 `A` 가 다음 사건 `B` 의 발생에 영향을 미치지 않는 경우가 있다.
• 반면에, 흰색 공 3개와 검은색 공 4개가 들어있는 주머니에서 비복원 추출에 의해 공을 꺼내는 경우에는 첫 번째에 흰색 공이 나왔다는 조건 아래에서 두 번째에 검은색 공이 나올 확률은 $\frac{2}{3}$ 이지만, 첫 번째에 검은색 공이 나왔다는 조건 아래에서 두 번째에 검은색 공이 나올 확률은 $\frac{1}{2}$ 이다.
  • 따라서 사전에 발생한 사건 `A` 가 다음 사건 `B` 의 발생에 영향을 미치는 경우가 있다.

 

사건의 종속과 독립

① 독립 사건(Independent Events) : 어느 한 사건의 발생 여부가 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 주지 않는 두 사건 `A` 와 `B`
② 종속 사건(Dependent Events) : 독립이 아닌 두 사건 `A` 와 `B`

• 그러면 $P(A) > 0, \; P(B) > 0$ 인 두 사건 `A` 와 `B` 가 독립일 필요 충분 조건은 다음과 같다.

$$P(B|A) = P(B), \quad P(A|B) = P(A)$$

• 이 때, 두 사건 `A` 와 `B` 가 서로 배반 사건이면 두 사건 `A` 와 `B` 는 항상 종속 관계가 성립한다.
• 한편, 두 사건 `A` 와 `B` 가 독립이면 정의에 의해서 $P(B|A) = P(B)$ 이므로 두 사건에 대한 곱의 법칙을 이용하면 다음을 얻을 수 있다.

$P(A) > 0, \; P(B) > 0$ 인 두 사건 `A` 와 `B` 가 독립일 필요 충분 조건은 다음과 같다.

(1) $P(A∩B) = P(A)P(B)$
(2) $P(A^{C}∩B) = P(A^{C})P(B)$
(3) $P(A∩B^{C}) = P(A)P(B^{C})$
(4) $P(A^{C}∩B^{C}) = P(A^{c})P(B^{C})$

• 두 사건의 독립성에 관한 위의 내용은 다음과 같이 3개 이상의 사건으로 확장할 수 있다.

$$A, B, C \text{가 독립} \quad \Leftrightarrow \quad P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C)$$

 

예제 : 앞면이 나올 가능성이 $\frac{2}{3}$ 인 찌그러진 동전을 독립적으로 두 번 던질 때 다음을 구하라.

(a) 앞면이 한 번도 나오지 않을 확률

(b) 앞면이 꼭 한 번 나올 확률

(c) 앞면이 두 번 나올 확률

(a)

처음에 앞면이 나오는 사건을 `A`, 두 번째에 앞면이 나오는 사건을 `B` 라 하자.

그러면 $P(A) = \frac{2}{3}, \; P(B) = \frac{2}{3}$ 이다.

그러므로 두 번 모두 앞면이 나오지 않을 확률은 다음과 같다.

$$P(A^{C}∩B^{C}) = P(A^{c})P(B^{C}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$$

 

(b)

앞면이 한 번 나오면 뒷면도 한 번 나오므로 첫 번째 앞면, 두 번째 뒷면이 나오는 경우와 첫 번째 뒷면, 두 번째 앞면이 나오는 경우가 있다.

따라서 구하고자 하는 확률은 다음과 같다.

$$P(A∩B^{C})  + P(A^{C}∩B) =  P(A)P(B^{C}) + P(A^{C})P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$$

 

(c)

앞면이 두 번 모두 나올 확률은 $P(A∩B) = P(A)P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$ 이다.