[이산 수학] 집합의 분할

집합의 분할

• 인공지능에서 지식의 자원이 되는 데이터를 관리하려면 일정한 기준으로 전체 데이터를 분류하는 과정이 필요하다.
• 이 과정을 통해 분류한 데이터 집합은 반드시 하나 이상의 데이터를 포함해야 하고, 데이터 집합을 모두 합쳤을 때는 제외된 데이터가 없어야 한다.
• 또한 분류한 집합 사이에 공통으로 포함되는 데이터가 존재하지 않아야 한다.
• 이렇게 보유한 데이터를 정확하게 분류해서 관리해야 인공지능이 쓸데없는 추론 과정을 수행하지 않으면서 정확한 정보를 추론할 수 있다.
• 이러한 인공지능의 데이터 관리에 적용할 수 있는 개념이 집합의 분할이다.

 

분할(Partition : $A = \{A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} \}$ )

공집합이 아닌 임의의 집합 $A$ 를 서로소이면서 공집합이 아닌 하나 이상의 부분 집합($A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$)으로 나누는 것

※ 분할의 조건 ( $i = 1, 2, \cdots, n$ )
① $A_{i} ≠ \varnothing$
② $i ≠ j$ 이면, $A_{i} ∩ A_{j} = \varnothing$
③ $A_{i} ⊆ A$
④ $A = A_{1} ∪ A_{2} ∪ \cdots ∪ A_{n}$

 

집합류(Set Class : $A_{i}$)

집합 `A` 에 대하여 분할된 부분 집합

• 분할의 조건 4가지를 모두 만족하면 분할이라고 할 수 있고, 분할 된 부분 집합은 모두 집합류라고 한다.

 

예 : $A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$ 에 대하여 다음과 같은 부분 집합이 있다고 가정할 경우

(1) $\{1, 2, 3\}, \{5\}$ (2) $\{1, 2, 3\}, \{3, 4\}, \{5\}$ (3) $\{1, 2\}, \{3\}, \{4, 5\}$

 

• (1)
  • $A_{1} = \{1, 2, 3\}, \; A_{2} = \{5\}$ 라고 할 때, 분할의 4가지 조건 중 다른 3가지는 만족하지만, $A_{1} ∪ A_{2} = \{1, 2, 3, 5 \} ≠ A$ 이므로 분할의 4가지 조건 중 ④를 만족하지 않는다.
  • 그러므로 (1)의 부분 집합은 집합 $A$ 의 분할이 아니다.
• (2)
  • $A_{1} = \{1, 2, 3\}, \; A_{2} = \{3, 4\}, \; A_{3} = \{ 5 \}$ 라고 할 때, (1)과 마찬가지로 다른 3가지 성질은 만족하지만 $A_{1} ∩ A_{2} = \{3\} ≠ \varnothing$ 이므로 부분집합 간에 교집합 원소가 없어야 한다는 분할의 4가지 조건 중 ②를 만족하지 않는다.
  • 따라서 (2)의 부분 집합은 집합 $A$ 의 분할이 아니다.
• (3)
  • $A_{1} = \{1, 2\}, \; A_{2} = \{3\}, \; A_{3} = \{ 4, 5 \}$ 라고 할 때 다음과 같이 분할의 4가지 조건을 모두 만족한다.
    • ① $A_{1} ≠ \varnothing, \; A_{2} ≠ \varnothing, \; A_{3} ≠ \varnothing$
    • ② $A_{1} ∩ A_{2} = \varnothing, \; A_{1} ∩ A_{3} = \varnothing, \; A_{2} ∩ A_{3} = \varnothing$
    • ③ $A_{1} ⊆ A, \; A_{2} ⊆ A, \; A_{3} ⊆ A$
    • ④ $A_{1} ∪ A_{2} ∪ A_{3} = \{1, 2, 3, 4, 5 \} = A$
  • 그러므로 $A_{1} = \{1, 2\}, \; A_{2} = \{3\}, \; A_{3} = \{ 4, 5 \}$ 는 집합 $A$ 의 분할이며, $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 는 집합 $A$ 의 집합류이다.