Per ardua ad astra.

모비율의 검정 이 페이지에서는 정당의 지지율, TV 프로그램의 시청률 또는 생산 제품의 불량률 등과 같은 모집단의 비율에 대한 주장을 검정하는 방법을 살펴본다. 단일 모비율에 대한 검정 모비율 `p` 에 대한 추정을 위해 표본 비율 $\hat{p}$ 를 사용한 것과 동일하게, 모비율 `p` 에 대한 가설을 검정하기 위해 표본 비율 $\hat{p}$ 를 사용한다. 그러면 모비율 $p$ 에 대해 다음과 같은 3가지 유형의 귀무 가설을 생각할 수 있다. $$H_{0} : p = p_{0}, \quad H_{0} : p \le p_{0}, \quad H_{0} : p \ge p_{0}$$ 그리고 이에 대한 대립 가설은 각각 다음과 같다. $$H_{0} : p \ne p_{0}, \quad H_{0} : p > ..

모평균의 검정 (σ² : 미지) 이전 글에서는 모집단의 분산을 알고 있는 경우에 모평균과 두 모평균 차에 대한 주장을 검정하는 방법을 살펴보았다. 그러나 대부분의 모집단은 모분산이 알려져 있지 않다. 따라서 모분산을 모르는 경우에 모평균에 대한 주장을 검정하는 방법을 살펴볼 필요가 있다. 모분산이 알려져 있지 않은 경우에는 정규 분포와 매우 흡사한 `t`-분포를 사용한다. 이 페이지에서는 `t`-분포를 이용하여 모분산이 알려져 있지 않은 정규 모집단의 모평균과 두 모평균의 차에 대한 주장을 검정하는 방법을 살펴본다. `t`-검정(`t`-Test) 근대 통계학의 기초가 되는 소표본론에서 많은 업적을 남긴 영국의 통계학자인 윌리엄 고셋(William Sealey Gosset, 1876-1937)이 소표본을 ..

모평균의 검정(σ² : 기지) 일반적으로 모평균에 대한 주장을 검정하기 위해 모집단은 정규 분포를 따른다고 가정한다. 그러면 모분산을 알고 있는 모평균에 대한 주장을 검정하기 위해 사용하는 확률 분포는 정규 분포이다. 특히 이 경우에 사용하는 검정 통계량은 표본 평균 $\overline{X}$ 의 표준화 확률 변수인 `Z` 이다. 이 페이지에서는 모분산이 알려져 있는 단일 정규 모집단의 모평균과 독립인 두 모집단의 모평균 차에 대한 귀무 가설을 검정하는 방법에 대해 살펴본다. 모평균에 대한 검정 모평균에 대한 양측 검정 모분산 $σ^{2}$ 이 알려진 정규 모집단에서 귀무 가설 $H_{0} : μ = μ_{0}$ 라는 주장과 이에 대립하는 대립 가설 $H_{1} : μ \ne μ_{0}$ 를 검정하는 방..

통계적 가설 검정 어느 학원에서 합격률이 전국 최고인 85.4% 라는 광고를 한다고 하자. 그러면 이 학원의 주장이 참인지 아니면 거짓인지 확인할 필요가 있을 것이다. 이와 같이 모수에 대한 주장을 검정하기 위해 반대인 주장을 설정하고, 어느 주장이 참인지 검정하는 일반적인 방법을 살펴본다. 가설 검정의 의미 합격률이 전국 최고인 85.4% 라는 광고가 참인지 확인하기 위해서는, 이 주장을 타당한 것으로 인정하고 이와 반대되는 주장을 설정한다. 그리고 이러한 두 주장 중에서 어느 것이 참인지 결정해야 한다. 이 때, 임의로 표본을 선정하고, 검정을 위한 표본 통계량을 이용하여 얻은 정보를 근거로 어느 주장이 참인지 판정한다. 이와 같이 참인지 거짓인지 명확히 밝히고자 하는 모수에 대한 주장을 가설(Hyp..

모비율의 추정 모비율의 신뢰 구간 표본의 크기 `n` 이 충분히 크다면, 모집단의 모비율 `p` 에 대한 점 추정량은 표본 비율 $\displaystyle \hat{p} = \frac{X}{n}$ 이고, $\hat{p}$ 는 다음과 같은 정규 분포에 근사한다. (관련 내용 바로가기) $\displaystyle \hat{p} \approx N(p, \; \frac{pq}{n})$ 또는 $\displaystyle Z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{pq}{n}}} \approx N(0, \; 1)$ (단, $q = 1 - p$) 그러므로 다음을 얻는다. $$P(|Z| \le z_{\frac{α}{2}}) \approx 1 - α \\ P \left( \left | \frac{\ha..

모집단과 표본 기술 통계학에서 통계 목적에 부합하는 모든 자료 집단을 모집단이라고 한다. 예를 들어, 우리나라는 5년 주기로 인구 주택 총조사를 실시한다. 이 때 모든 가구를 대상으로 가족 구성원의 연령을 비롯하여 가구 형태 등을 조사한다. 이와 같이 통계 목적에 부합하는 모든 자료들의 집단을 모집단이라고 하며, 이 모집단 전체를 대상으로 조사하는 것을 전수 조사(Complete Survey)라 한다. 한편, 선거철이 되면 방송이나 신문에서 "신뢰도 95%와 표본 오차 5%에서 A 후보의 지지율이 30% 이다." 라는 내용을 자주 접한다. 이 경우는 모든 유권자(모집단) 중에서 일부(표본)만 대상으로 조사한 결과를 나타낸다. 이와 같이 표본을 대상으로 조사하는 것을 표본 조사(Sampling Survey..

확률 변수의 평균과 분산 양적 자료에 대한 평균은 도수 히스토그램의 중심 위치를 나타내고, 분산은 평균을 중심으로 흩어진 정도를 나타낸다. 이와 마찬가지로 확률 변수 `X` 의 분포에 대한 중심 위치인 평균과 이 값을 중심으로 흩어진 정도인 분산을 정의할 수 있다. 확률 변수의 평균 어느 마트에서 창립 기념으로 고객에게 상품권을 제공하는 시은행사를 실시한다. 이 마트에서 제작한 복권의 수와 상품권 금액은 다음과 같다. 상품권 복권 수 100만원 2 50만원 8 10만원 10 0원 30 이 마트에서 고객에게 제공하는 상금의 평균을 $\overline{x}$ 라 하면 다음과 같이 구할 수 있다. $$\overline{x} = \frac{1}{50}(0 \times 30 + 10 \times 10 + 50 \..

연속 확률 변수 이산 확률 변수는 확률 변수 `X` 가 취할 수 있는 값이 하나하나 떨어져 있으며, 그 값이 유한개이거나 셀 수 있는 값이다. 그러나 하루 동안 최저 온도 -10℃ 에서 최고 온도 5℃까지 수온주의 높이를 확률 변수 `X` 라 하면, `X` 가 취할 수 있는 값은 구간 [-10, 5] 안의 모든 실수로 나타난다. 이와 같이 확률 변수 `X` 의 상태 공간이 구간으로 나타나는 경우에도 확률 함수와 분포 함수 및 확률을 계산할 수 있다. 연속 확률 변수의 의미 온도계 수온주의 높이, 택시 정류장에서 기다리는 시간, 새로 교체한 전구의 수명 등과 같이 확률 변수가 취하는 값이 어떤 구간인 경우를 생각할 수 있다. 이 때, 온도계 수온주의 높이는 유한 구간이고, 전구의 수명은 무한 구간이다. 연..

이산 확률 변수 이산 확률 변수의 의미 동전을 두 번 던지는 게임에서 앞면이 나온 횟수를 `X` 로 나타내면, `X` 를 이용하여 앞면이 나온 횟수라는 특성에 따라 구분된 사건을 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다. $$ \eqalign{ \{ HH \} &\Leftrightarrow X = 2 \\ \{ HT, TH \} &\Leftrightarrow X = 1 \\ \{ TT \} &\Leftrightarrow X = 0}$$ 그러므로 앞면이 나온 횟수인 `X` 는 아래와 같이 표본 공간 `S` 에서 실수 전체의 집합 `R` 로의 함수로 생각할 수 있다. 이 때 앞면이 나온 횟수인 `X` 를 확률 변수(Random Variable)라고 한다. 확률 변수(Random Variable) 표본 공간 `S`..

시행과 사건 동전 던지기나 주사위 던지기 등과 같은 어떤 통계적 실험을 실시할 때 나타날 수 있는 모든 경우에 대해, 특정한 실험 결과로 구성된 집합을 사건이라고 한다. 따라서 확률론에서 사용하는 용어인 사건은 집합의 개념과 동일하다. 시행(Trial) 동일한 조건 아래서 반복할 수 있으며, 그 결과가 우연에 의해 달라질 수 있는 실험 또는 관찰 동전을 던져서 앞면이 나오면 `H`, 뒷면이 나오면 `T`라고 할 때, 동전을 두 번 반복하여 던진다면 나올 수 있는 모든 경우는 $\{ HH, HT, TH, TT \}$ 뿐이다. 그리고 주사위를 한 번 던진다면 나올 수 있는 모든 경우는 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 뿐이다. 이와 같이 동일한 조건 아래에서 동전이나 주사위를 몇 번이고 반복하여 던질 수 있..

도수 분포표에서의 평균과 분산 도수 분포표로 주어진 자료는 각 계급 안의 도수는 알지만 정확한 자료값을 알지 못한다. 이런 경우에는 각 계급의 계급값을 이용하여 대푯값으로 생각한다. 예) 계급 간격이 9.5 ~ 18.5인 계급의 도수가 10이면, 이 계급 안의 정확한 자료값을 알 수 없으므로 10개의 자료값을 계급값 14로 생각한다. 도수 분포표에서의 평균 도수 분포표에서 주어진 자료의 평균을 구하기 위해 각 계급의 계급값을 이용한다. 예 10 37 22 32 18 15 15 18 22 15 20 25 38 28 25 30 20 22 18 22 22 12 22 26 22 32 22 23 20 23 23 20 25 51 20 25 26 22 26 28 28 20 23 30 12 22 35 11 20 25 ..

위치 척도와 상자 그림 두 집단의 평균의 차이가 극심한 경우에는 표준 편차보다 상대적인 척도인 변동 계수를 사용한다. 그러나 두 집단의 평균을 일치시키고, 절대적인 수치로 주어진 자료값을 상대적인 위치로 변환할 수 있다. 중앙값은 가장 중앙에 놓이는 자료값이므로 자료값을 크기 순으로 나열하여 50% 위치에 놓이게 된다. 이 때 수집한 자료를 크기 순서로 나열하여 백등분하는 위치 또는 사등분하는 위치를 나타내는 백분위수와 사분위수를 구할 수 있다. 사분위수를 이용하면 특이값의 존재 여부를 명확하게 알 수 있다. `z`-점수(`z`-Score) ; 표준 점수(Standardized Score) 각 자료의 측정값과 평균과의 편차를 표준 편차로 나눈 수치 자료 집단을 구성하는 개개의 자료값을 평균을 중심으로 한..

산포도 산포도(Measure of Dispersion) 두 자료 집단의 대푯값인 평균이 동일하더라도, 두 자료 집단의 특성이 동일한 것은 아니다. 예 자료 집단 A : [1 2 3 4 5 5 5 6 7 8 8 9 9 9 9] 자료 집단 B : [4 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 8] 두 자료 집단의 평균은 동일하게 6이지만, 점도표를 그리면 명확하게 다르다는 사실을 알 수 있다. 자료 집단 A는 오른쪽으로 치우치고 왼쪽으로 길게 퍼지는 형태이지만, 자료 집단 B는 평균 6을 중심으로 집중되는 형태이다. 따라서 수집한 자료의 분포를 충분히 설명하기 위해 대푯값 이외에 자료가 흩어져 있는 정도에 대한 척도가 필요하며, 이와 같이 흩어진 정도를 나타내는 척도를 산포도(Measure of Dis..

대푯값 지금까지는 양적 자료의 특성을 쉽게 이해하는 방법으로 여러 가지 표와 그림을 이용했다. 특히 양적 자료에 대한 도수 히스토그램을 그리면 자료의 흩어진 모양 등을 쉽게 알 수 있다. 이 때, 도수 히스토그램의 중심 위치를 나타내는 수치를 중심 위치의 척도(Measure of Centrality) 또는 대푯값(Representative Value)이라 한다. 대푯값은 수집한 양적 자료 전체를 대표할 수 있는 하나의 수치이다. 예 도수 히스토그램의 넓이를 이등분하는 수치를 대푯값이라 한다. 평균(Mean) 가장 널리 사용하는 대푯값 - 모평균(Population Mean) : `N` 개로 구성된 모집단의 각 자료값을 모두 더해 `N` 으로 나눈 수치 - 표본 평균(Sample Mean) : `n` 개로..

양적 자료의 정리 수집한 양적 자료의 특성을 알기 쉽게 정리하기 위해 개개의 측정값을 이용하거나 적당한 구간으로 집단화하여 표 또는 그림으로 표현할 수 있다. 점도표(Dot Plot) 질적 자료에서 사용한 점도표는 양적 자료에도 사용할 수 있다. 점도표는 다음과 같은 특성을 갖는다. (1) 각 자료의 정확한 측정값을 알 수 있다. (2) 전체 자료의 흩어진 분포 모양을 알 수 있다. (3) 관찰값의 수만큼 점을 찍어서 나타내므로 자료의 수가 많으면 부적절하다. 도수 분포표(Frequency Distribution Table) 양적 자료를 일정한 간격으로 묶어서 집단화하는 방법으로 도수 분포표를 사용한다. 양적 자료를 적당한 간격으로 집단화하여 계급, 도수, 상대 도수, 누적 도수, 누적 상대 도수, 계급..

질적 자료의 정리 점도표(Dot Plot) 수집한 범주형 자료에 대해 수평축에 각 범주를 작성하고 수직 방향으로 각 범주의 측정값에 해당하는 수만큼 점으로 나타낸 그림 각 범주의 관찰 도수 만큼 점으로 표현하므로, 관찰한 도수의 수가 많으면 불편하다. 예 도수표(Frequency Table) 각 범주의 도수와 상대 도수 또는 범주의 백분율을 기입하여 보여주는 표 상대적인 크기를 보여주지만, 그림에 비해 이해력이 떨어진다는 단점이 있다. 도수, 상대 도수, 범주의 백분율은 각각 다음과 같다. - 도수(Frequency) : 각 범주에 대해 관찰된 자료 수 - 상대 도수(Relative Frequency) : 각 범주의 도수를 전체 도수로 나눈 값 $\displaystyle \text{상대 도수} = \fr..

자료의 종류 통계적인 목적에 맞춰서 수집된 대상을 자료(Data)라고 한다. 이러한 자료를 수집하여 분석하거나, 이를 표 또는 그림으로 표현하여 수집한 자료로부터 의미 있는 정보를 얻어내는 일련의 과정을 통계(Statistics)라고 한다. 자료의 종류 자료(Data)는 숫자에 의해 표현되는지 그렇지 않은지에 따라 크게 2가지로 분류된다. 양적 자료(Qualitative Data)와 질적 자료(Quantitative Data) 혈액형은 A형, B형, AB형, O형이라는 범주로 구분될 뿐 숫자에 의해 표현할 수 없다. 키 또는 몸무게에 대한 자료는 범주가 아닌 숫자로 표현되며, 숫자에 대해 대소 관계 또는 크기 관계가 구분된다. 이와 같이 범주로 표현되는 자료를 질적 자료라 하고, 숫자에 의해 표현되는 자..

미분법 도함수는 그래프 위의 한 점에서 접선의 방정식을 구하거나 함수의 최댓값과 최솟값을 구하기 위한 도구로 사용될 뿐만 아니라 확률에서도 매우 중요한 역할을 한다. 미분 계수와 도함수 곡선 위의 한 점에서 이 곡선에 대한 접선의 방정식을 구하기 위한 수학적 도구인 미분 계수와 도함수의 개념을 살펴보자. 평균 변화율(Average Rate of Change) 함수 `y = f(x)` 에 대해 다음과 같이 `x` 가 `a` 에서 `b` 까지 변할 때, `y` 의 값은 `f(a)` 에서 `f(b)` 로 변한다. 이때 `x` 의 변화량 `b - a` 를 `x` 의 증분(Increments)이라 하고, `Δx = b - a` 로 나타낸다. 그리고 `y` 의 변화량 `f(b) - f(a)` 를 `y` 의 증분이라..

함수의 극한과 연속 함수의 극한(Limit)은 도함수를 정의하기 위한 기초 도구로 사용된다. 함수의 연속성은 연속 확률 변수와 확률 분포에서 매우 중요한 역할을 담당한다. 함수의 극한 함수 `y = f(x)` 에 대해 변수 `x` 가 실수 `1` 에 한없이 가까워질 때, 함숫값 `f(x)` 가 어떻게 변하는지 살펴보자. 함수 `f(x) = x + 1` 은 `x = 1` 에서 함숫값 `f(1) = 2` 가 존재한다. 변수 `x` 가 실수 `1` 에 가까워질수록 직선 위의 점은 점 `(1, 2)` 에 가까워진다. 따라서 함숫값 `f(x)` 는 `2` 에 가까워지는 것을 알 수 있다. 한편, 함수 $g(x) = \frac{x^{2}-1}{x-1}$ 은 `x = 1` 에서 함숫값 `g(1)` 이 존재하지 않는다..

경우의 수 어떤 상황에 부딪혔을 때, 그 상황에서 나타날 수 있는 모든 경우의 수를 생각해야 할 때가 빈번히 발생한다. 합의 법칙과 곱의 법칙 합의 법칙(Rule of Addition) 서로 소인 두 집합 `A` 와 `B` 의 원소의 수를 각각 `n(A)`, `n(B)` 라고 하면, 두 집합이 서로 소이므로 합집합 `A ∪ B` 의 원소의 개수는 `n(A ∪ B) = n(A) + n(B)` 이다. 이와 같이 동시에 발생하지 않는 두 사건 `A` 와 `B` 가 일어나는 경우의 수를 각각 `m` 과 `n` 이라 할 때, 사건 `A` 또는 사건 `B` 가 일어나는 경우의 수는 `m + n` 이고, 이를 합의 법칙 (Rule of Addition)이라 한다. 예제 1 : 책상 위에 서로 다른 연필 5자루와 서로..

함수 확률 현상에서 발생하는 특정한 성질을 나타내기 위해 확률 변수를 사용하는데, 이때 확률 변수에 대한 함수를 이용하면 확률을 쉽게 계산할 수 있다. 함수의 의미 공집합이 아닌 두 집합 `X` 와 `Y` 에 대해 `X` 안의 각 원소 `x` 를 `Y` 안에 있는 오직 한 원소 `y` 에 대응시키는 관계 `f` 를 함수(Function)라 하고, $f : X → Y, \; y = f(x)$ 로 나타낸다. `x` 의 집합 `X` 를 함수 `f` 의 정의역(Domain)이라 하고 $dom(f)$(또는 $D_{f}$) 로 나타낸다. `y` 의 집합 `Y` 를 함수 `f` 의 공역(Codomain)이라 한다. 특히 `y = f(x)` 를 함수라 하면, `x` 값이 정해지면 대응 관계 `f` 에 의해 `y` 값이..

집합 집합은 확률과 통계를 학습하는 데 있어 기본적으로 필요한 개념이므로 집합에 대한 기본적인 개념과 성질에 대한 이해가 필요하다. 집합(Set) 집합(Set) : 주어진 조건에 대해서 그 대상을 명확하게 구별할 수 있는 모임 원소(Element) : 집합을 구성하는 대상들 보편적으로 집합은 대문자 알파벳 `A, B` 등으로 나타내고, 원소는 소문자 알파벳 `a, b` 등으로 나타낸다. 집합 `A` 의 원소를 `a, b, c` 라고 할 때, 원소 `a` 가 집합 `A` 에 포함될 경우 `a ∈ A` 와 같이 나타내고, 그렇지 않을 경우 `a \notin A` 로 나타낸다. ※ '집합' 을 향하도록 삼지창을 그린다. 집합의 표현 ① 원소 나열법(Tabular Form) 모든 원소를 나열하는 방법 예) `A..