[확률과 통계] 함수

2022. 9. 20. 18:59

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함수

확률 현상에서 발생하는 특정한 성질을 나타내기 위해 확률 변수를 사용하는데, 이때 확률 변수에 대한 함수를 이용하면 확률을 쉽게 계산할 수 있다.

공집합이 아닌 두 집합 $X$ 와 $Y$ 에 대해 $X$ 안의 각 원소 $x$ 를 $Y$ 안에 있는 오직 한 원소 $y$ 에 대응시키는 관계 $f$ 를 함수(Function)라 하고, $f : X \to Y, y = f (x)$ 로 나타낸다.
- $x$ $x$ 의 집합 $X$ $X$ 를 함수 $f$ $f$ 의 정의역(Domain)이라 하고 $dom(f)$ (또는 $D_{f}$ ) 로 나타낸다.
- $y$ $y$ 의 집합 $Y$ $Y$ 를 함수 $f$ $f$ 의 공역(Codomain)이라 한다.
특히 $y = f (x)$ 를 함수라 하면, $x$ 값이 정해지면 대응 관계 $f$ 에 의해 $y$ 값이 오직 하나만 정해진다.
- $x$ $x$ : 독립 변수(Independent Variable)
- $y$ $y$ : 종속 변수(Dependent Variable) 또는 $x$ $x$ 의 함숫값(Value of Function)
다음과 같이 집합 $X$ $X$ 안의 모든 원소 $x$ $x$ 에 대한 함숫값들의 집합을 함수 $f$ $f$ 의 치역(Range)이라 하고, $f(X)$ 또는 $ran(f)$ (또는 $R_{f}$ ) 로 나타낸다.

$f(X) = \{y | y = f(x), \; x ∈ X\}$

그러면 $X$ $X$ 에서 $Y$ $Y$ 로의 함수 $f$ $f$ 에 대해 $f$ $f$ 의 치역은 공역 $Y$ 의 부분 집합, 즉 $f(X) ⊆ Y$ 이다.

또한 $X$ $X$ 에서 $Y$ $Y$ 로의 함수 $y = f (x)$ $y = f(x)$ 에 대해 순서쌍 $(x, y)$ $(x, y)$ 전체의 집합을 함수 $y = f (x)$ $y = f(x)$ 의 그래프(Graph)라고 한다.

$G = \{ (x, y) | y = f(x), \; x ∈ X \}$

이때 정의역 안의 모든 원소가 공역 안의 한 원소와 대응을 이루는 함수 $y = f(x) = a, \; a ∈ Y$ 를 상수 함수(Constant Function)라 하고, 자기 자신으로 대응을 이루는 함수 $y = f(x) = x$ 를 항등 함수(Identity Function)라 한다.

실수 전체의 집합 $R$ $R$ 에서 $R$ 로의 함수 $f : R → R$ 과 $g : R → R$ 을 생각해보자.
이때 두 함수 $f$ 와 $g$ 가 다음 두 조건을 만족하면, 두 함수 $f$ 와 $g$ 는 서로 상등(Equal)이라 하고 $f = g$ 로 나타낸다.
- 이때 두 함수 $f$ $f$ 와 $g$ $g$ 가 상등이 아니면, $f$ $f$ 와 $g$ $g$ 는 서로 같지 않다고 하며 $f \neq g$ $f ≠ g$ 로 나타낸다.

① 두 함수의 정의역이 같다. ( $dom(f) = dom(g)$ )
② 정의역 안의 모든 원소 $x$ 에 대한 함숫값이 같다. ( $f(x) = g(x)$ )

또한 함수 $f$ 와 영이 아닌 실수 $k$ 의 곱을 다음과 같이 정의한다.
- $k > 0$ $k > 0$ 에 대해 함수 $k f$ $kf$ 는 함수 $f$ $f$ 를 $k$ $k$ 배 만큼 늘리거나 줄인 함수이다.
- $k < 0$ $k < 0$ 에 대해 함수 $k f$ $kf$ 는 함수 $f$ $f$ 를 $x$ $x$ 축에 대해 대칭 이동하여 $k$ $k$ 배 만큼 늘리거나 줄인 함수이다.

$(kf)(x) = kf(x), \quad dom(kf) = dom(f)$

두 함수 $f : X → Y$ 와 $g : Y → Z$ 에 대해 다음과 같이 함수 $f$ 에 의해 $x ∈ X$ 가 $y = f(x) ∈ Y$ 에 대응하고, 이 원소 $y$ $y$ 가 함수 $g$ $g$ 에 의해 $z = g (y) \in Z$ $z = g(y) ∈ Z$ 로 대응한다고 하자.
그러면 집합 $X$ $X$ 의 원소 $x$ $x$ 는 집합 $Z$ $Z$ 의 원소 $z$ $z$ 로 대응을 이룬다.

이때 집합 $X$ $X$ 로부터 집합 $Z$ $Z$ 로의 함수를 $g$ $g$ 와 $f$ $f$ 의 합성 함수(Composite Function)라 하고, 다음과 같이 나타낸다.

$g \circ f : X → Z, \quad (g \circ f)(x) = g(f(x))$

상수 $a \; (a ≠ 0)$ 에 대해 함수 $y = ax + b$ 를 일차 함수(Linear Function)라 하며, 일차 함수의 그래프는 다음과 같이 직선이다.

이때 상수 $a$ 를 기울기(Slope)라 하며, 기울기는 $x$ 가 1만큼 증가할 때 $y$ 가 $a$ 만큼 증가하거나 감소함을 나타낸다.
- 기울기가 양수이면( $a > 0$ $a > 0$ ), $x$ $x$ 가 1 만큼 증가할 때 $y$ $y$ 는 $a$ $a$ 만큼 증가한다.
- 기울기가 음수이면( $a < 0$ $a < 0$ ), $x$ $x$ 가 1만큼 증가할 때 $y$ $y$ 는 $| a |$ $|a|$ 만큼 감소한다.
$x = 0$ 이면, $y = b$ 이고 직선이 $y$ 축을 절단한다.
- $y = b$ $y = b$ 를 $y$ $y$ -절편(y-Intercept)라 한다.
$y = 0$ 이면, $x = - \frac{b}{a}$ 이고 직선이 $x$ 축을 절단한다.
- $x = - \frac{b}{a}$ $x = -\frac{b}{a}$ 를 $x$ $x$ -절편(x-Intercept)라 한다.

상수 $a \; (a ≠ 0), b, c$ 에 대해 함수 $y = ax^{2} + bx + c$ 를 이차 함수(Quadratic Function)라 하며, 일차 함수의 그래프는 다음과 같이 포물선이다.

이차 함수 $y = a x^{2}$ $y = ax^{2}$ 은 $y$ $y$ 축에 대해 좌우 대칭이고, 꼭짓점의 좌표는 $(0, 0)$ $(0, 0)$ 이다.
$y = a x^{2}$ $y = ax^{2}$ 을 $y$ $y$ 축을 따라 $q$ $q$ 만큼 평행 이동하면 $y = a x^{2} + q$ $y = ax^{2} + q$ 이고, 이 함수의 그래프는 $y$ $y$ 축에 대해 좌우 대칭이고 꼭짓점의 좌표는 $(0, q)$ $(0, q)$ 이다.
$y = a x^{2} + q$ $y = ax^{2} + q$ 를 $x$ $x$ 축을 따라 오른쪽으로 $p$ $p$ 만큼 평행 이동한 함수는 $y = a {(x - p)}^{2} + q$ $y = a(x - p)^{2} + q$ 이고, 이 함수의 그래프는 $x = p$ $x = p$ 에 대해 좌우 대칭이고, 꼭짓점의 좌표가 $(p, q)$ $(p, q)$ 이다.
완전 제곱식을 이용하여 함수 $y = a x^{2} + b x + c$ $y = ax^{2} + bx + c$ 를 다음과 같이 $y = a {(x - p)}^{2} + q$ $y = a(x - p)^{2} + q$ 의 형태로 고칠 수 있다.

$y = ax^{2} + bx + c = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^{2} - \frac{b^{2} - 4ac}{4a}$

그러면 $p = - \frac{b}{2 a}$ $p = -\frac{b}{2a}$ , $q = - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}$ $q = -\frac{b^{2}-4ac}{4a}$ 이다.
$a > 0$ $a > 0$ 이면 꼭짓점에서 이차 함수는 최솟값을 가지며, $a < 0$ $a < 0$ 이면 꼭짓점에서 이차 함수는 최댓값을 가진다. 이때 최댓값 또는 최솟값은 다음과 같다.

$f(p) = - \frac{b^{2}-4ac}{4a}$

공집합이 아닌 두 집합 $X$ 와 $Y$ 에 대하여 $X$ 의 각 원소 $x$ 를 $Y$ 의 오직 한 원소 $y$ 에 대응시키는 관계
- $X$ $X$ : 정의역
- $Y$ $Y$ : 공역
- $f (x) = {f (x) ∣ x \in X}$ $f(x) = \{ f(x) | x ∈ X \}$ : 치역
- $G = {(x, f (x) ∣ x \in X}$ $G = \{ (x, f(x) | x ∈ X \}$ : 그래프