[확률과 통계] 도수 분포표에서의 평균과 분산

도수 분포표에서의 평균과 분산

• 도수 분포표로 주어진 자료는 각 계급 안의 도수는 알지만 정확한 자료값을 알지 못한다. 이런 경우에는 각 계급의 계급값을 이용하여 대푯값으로 생각한다.
  • 예) 계급 간격이 9.5 ~ 18.5인 계급의 도수가 10이면, 이 계급 안의 정확한 자료값을 알 수 없으므로 10개의 자료값을 계급값 14로 생각한다.

 

도수 분포표에서의 평균

• 도수 분포표에서 주어진 자료의 평균을 구하기 위해 각 계급의 계급값을 이용한다.

 

예

10	37	22	32	18	15	15	18	22	15
20	25	38	28	25	30	20	22	18	22
22	12	22	26	22	32	22	23	20	23
23	20	25	51	20	25	26	22	26	28
28	20	23	30	12	22	35	11	20	25

• 위의 자료의 평균을 구하면 $\overline{x} = 23.36$ 이다.
• 이 자료에 대해 계급의 수가 5인 도수 분포표를 구하면 다음과 같으며, 이 도수 분포표에는 각 계급 안에 들어있는 자료의 수는 알 수 있지만, 정확한 자료값은 알 수 없다.

계급 간격	도수(`f_{i}`)	상대 도수	계급값(`x_{i}`)
9.5 ~ 18.5	10	0.20	14
18.5 ~ 27.5	29	0.58	23
27.5 ~ 36.5	8	0.16	32
36.5 ~ 45.5	2	0.04	41
45.5 ~ 54.5	1	0.02	50
합계	50	1.00

• 따라서 각 계급의 자료값을 계급값으로 대치하여 다음과 같이 평균을 구한다.

$\displaystyle \overline{x} = \frac{1}{5}(14 + \cdots + 14 + 23 + \cdots + 23 + 32 + \cdots + 32 + 41 + 41 + 50)$

$\displaystyle = \frac{1}{50}(14 × 10 + 23 × 29 + 32 × 8 + 41 × 2 + 50 × 1)$

$\displaystyle = \frac{1195}{50} = 23.9$

 

• 다시 말해, 도수 분포표에 의한 자료의 평균은 다음과 같이 각 계급의 도수(`f_{i}`)와 계급값(`x_{i}`)의 곱의 합을 전체 도수(`n`)로 나눈 값이다.

$$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} x_{i}f_{i}$$

• 또는 평균을 구하는 식을 다음과 같이 변형할 수 있다.

$\displaystyle \overline{x} = 14 × \frac{10}{50} + 23 × \frac{29}{50} + 32 × \frac{8}{50} + 41 × \frac{2}{50} + 50 × \frac{1}{50} = \frac{1195}{50} = 23.9$

 

• 이 때 $\displaystyle \frac{f_{i}}{n}$ 는 `i` 번째 계급의 상대 도수이므로, 도수 분포표에 의한 평균은 각 계급의 도수와 상대도수의 곱들의 합인 것을 알 수 있다.

$$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} x_{i}f_{i} = \sum_{i=1}^{n}(\frac{f_{i}}{n})x_{i}$$

 

• 그러면 정확한 평균 23.36과 도수 분포표에 의한 평균 23.9가 큰 차이가 없음을 알 수 있다.

 

예제 : 다음 도수 분포표에 의한 자료의 평균을 구하라.

계급 간격	도수
11.5 ~ 21.5	6
21.5 ~ 31.5	15
31.5 ~ 41.5	20
41.5 ~ 51.5	8
51.5 ~ 61.5	1
합계	50

각 계급의 계급값을 구하면 16.5, 26.5, 36.5, 46.5, 56.5이고, 해당하는 계급의 도수가 각각 6, 15, 29, 8, 1 이므로 도수 분포표에 대한 평균은 다음과 같다.

 

$\displaystyle \overline{x} = \frac{1}{50}(16.5 × 6 + 26.5 × 15 + 36.5 × 29 + 46.5 × 8 + 56.5 × 1) = \frac{1655}{50} = 33.1$

 

도수 분포표에서의 분산과 표준 편차

• 도수 분포표에 의한 분산은 다음과 같은 순서로 구한다.

① 도수 분포표에 의한 평균 $\overline{x}$ 를 구한다.
② 각 계급의 계급값과 평균의 편차 $x_{i} - \overline{x}$ 를 구한다.
③ ②에서 구한 편차의 제곱 $(x_{i} - \overline{x})^{2}$ 을 구한다.
④ 편차의 제곱과 도수의 곱 $(x_{i} - \overline{x})^{2}f_{i}$ 를 구한다.
⑤ $(x_{i} - \overline{x})^{2}f_{i}$ 의 합 `A` 를 구한다.
⑥ `A` 를 `n - 1` 로 나눈다.

 

예 

10	37	22	32	18	15	15	18	22	15
20	25	38	28	25	30	20	22	18	22
22	12	22	26	22	32	22	23	20	23
23	20	25	51	20	25	26	22	26	28
28	20	23	30	12	22	35	11	20	25

계급 간격	도수(`f_{i}`)	계급값(`x_{i}`)	$x_{i} - \overline{x}$	$(x_{i} - \overline{x})^{2}$	$(x_{i} - \overline{x})^{2}f_{i}$
9.5 ~ 18.5	10	14	-9.9	98.01	980.10
18.5 ~ 27.5	29	23	-0.9	0.81	23.49
27.5 ~ 36.5	8	32	8.1	65.61	524.88
36.5 ~ 45.5	2	41	17.1	292.41	584.82
45.5 ~ 54.5	1	50	26.1	681.21	681.21
합계	50				2794.5

• 구하고자 하는 분산과 표준 편차는 다음과 같다.

$\displaystyle s^{2} = \frac{1}{49} \sum_{i=1}^{5}(x_{i} - \overline{x})^{2}f_{i} = \frac{2794.5}{49} ≒ 57.03, \quad s = \sqrt{57.03} ≒ 7.552$

• 따라서 각 계급값이 각각 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}$ 이고, 계급의 도수가 각각 $f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{k}$ 인 도수 분포표에 의한 자료의 분산과 표준 편차는 각각 다음과 같이 구한다.

$$\displaystyle s^{2} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{k}(x_{i} - \overline{x})^{2}f_{i}, \quad s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{k}(x_{i} - \overline{x})^{2}f_{i}}$$