Per ardua ad astra.

수학적 귀납법 첫 번째 단계가 성립하고 `n` 번째 단계가 성립한다고 가정했을 때, `n + 1` 번째 단계로 성립함을 보이는 방식의 증명 방법을 수학적 귀납법이라고 한다. 수학적 귀납법은 0보다 크거나 같은 정수의 범위에서 발생하는 일정한 규칙을 증명하는 데 유용하다. 수학적 귀납법(Mathematical Induction) 0보다 크거나 같은 정수 범위에서 발생하는 일정한 규칙을 나타내는 명제 `P(n)` 이 성립함을 증명하는 방법 수학적 귀납법은 다음 세 단계로 증명한다. ① 기본 가정 : 명제의 논의 영역 `D` 의 첫 번째 값 `d` 에 대하여, `P(d)` 가 참(T)임을 보인다. ② 귀납 가정 : 논의 영역에 속하는 임의의 값 `k` 에 대하여, `P(k)` 가 참(T)이라고 가정한다. ③ ..

간접 증명법 간접 증명법은 증명해야 하는 명제를 변형하여 증명하는 방법으로, 모순 증명법, 대우 증명법 그리고 존재/반례 증명법이 있다. 모순 증명법 : 증명해야 하는 조건 명제에서 결론에 해당하는 명제를 부정하여 증명하는 방법 대우 증명법 : 증명해야 하는 조건 명제를 대우 명제로 변형하여 증명하는 방법 존재/반례 증명법 : 명제를 참(T)으로 만드는 원소가 있는지, 혹은 명제를 거짓(F)으로 만드는 원소가 있는지를 판단하여 증명하는 방법 모순 증명법(Proof by Contradiction) 조건 명제 `p → q` 와 $\neg (p \land \neg q)$ 가 동치임을 이용해, $p \land \neg q$ 가 거짓(F)임을 보임으로써 증명하는 방법 $\neg (p \land \neg q)$ $..

직접 증명법 직접 증명법은 주어진 명제를 변형하거나 예를 구하는 것이 아니라, 공리, 정의, 정리 등을 이용하여 주어진 그대로 증명하는 방식이다. 직접 증명법(Direct Proof) 조건 명제 `p → q` 가 참(T)임을 증명하기 위해 전제 `p` 를 참(T)으로 가정했을 때, 결론 `q` 도 참(T)임을 증명하는 방법 예 : '두 홀수 `m` 과 `n` 의 곱은 홀수이다.' 를 직접 증명법으로 증명하기 '두 홀수 `m` 과 `n` 의 곱은 홀수이다' 라는 명제를 조건 명제의 형태로 나타내면 다음과 같다. `p → q` : 두 정수 `m, n` 이 홀수이면, `m` 과 `n` 의 곱은 홀수이다. `p` : 두 정수 `m, n` 은 홀수이다. `q` : `m` 과 `n` 의 곱은 홀수이다. 홀수 `m`..

증명의 이해 증명은 어떤 사실이 참(T)임을 보이는 것으로서 증명에 사용되는 모든 내용들이 타당해야만 정당한 증명이 된다. 증명(Proof) 하나의 명제가 참(T) 임을 확인하는 과정 증명의 과정에는 추론 방식이 적용된다. 추론 : 참(T)으로 판별된 전제를 이용하여 결론이 참(T) 또는 거짓(F)임을 판별하는 과정 그러므로 증명 과정에서도 참(T)인 전제를 사용해야 하며, 이 전제를 이용하여 주어진 명제가 참(T)임을 보여야 한다. 증명에서 사용되는 전제로는 공리, 정의, 정리가 있다. 공리(Axiom) 별도의 증명 없이도 항상 참(T)이라고 판단하는 명제 다음 명제들은 공리의 대표적인 예이다. 명제 `p` 가 참(T)이면, 명제 $p \lor q$ 도 참(T)이다. 두 점이 주어질 때, 그 두 점을 ..

추론 컴퓨터 시스템으로 구현한 것 중, 인간의 학습, 추론, 지각 등의 능력을 구현한 것이 인공지능(AI)인데, 인공지능은 이미 참(T)으로 판별된 명제와 반박할 수 없는 논리 규칙을 이용하여 새로운 참(T)인 명제를 정보로 획득하는 방식으로 지능을 높인다. 이처럼 참(T)인 명제와 논리 규칙을 이용하여 또 다른 참(T)인 명제를 유도해나가는 과정을 추론이라고 한다. 추론의 개념 추론(Inference) / 논증(Reasoning) 참(T)인 명제를 근거로 하여 다른 명제가 참(T)임을 유도하는 과정 또는 방식 전제(Hypothesis)와 결론(Conclusion) 추론에서 사용하는 명제는 추론의 근거로 사용하는 명제와 결론으로 나오는 명제로 구성된다. ① 전제(Hypothesis) : 결론의 근거가 되..

명제 함수와 한정자 명제의 정의에 따라 식 `x > 10` 은 `x` 값이 정해지지 않았으므로 진릿값을 판별할 수 없어 명제가 아니다. 그러나 `x` 의 값이나 범위가 주어진다면 진릿값을 판별할 수 있으므로 명제가 될 수 있다. 이와 같이 범위가 주어진 변수를 포함하는 명제를 명제 함수라 하고, 주어진 범위를 논의 영역이라고 한다. 명제 함수(Propositional Function : $P(x)$) 논의 영역이 주어진 변수 `x` 를 포함하여 진릿값을 판별할 수 있는 문장이나 수식 논의 영역(Domain of Discource : $D$) 명제 함수에 포함된 변수 `x` 의 범위나 값 명제 함수는 일반적으로 `P, Q, R, \codts` 과 같은 대문자와 명제 함수에 포함된 변수를 함께 표시한다. 명..

피보나치 수열(Fibonacci Sequence) 레오나르도 피보나치(1170 ~ 1250, Leonardo Fibonacci) 레오나르도 피보나치(1170 ~ 1250, Leonardo Fibonacci)는 1170년 상업 도시인 이탈리아의 피사에서 태어났다. 그의 아버지는 피사에서 탁월한 상인으로 지중해에서 강력한 권력을 가진 사람 중 한 명이었다. 그의 아버지가 북부 아프리카의 통상 무역 대표로 임명받자, 북부 아프리카로 아들을 데려가 최신 이슬람 수학을 배울 수 있도록 하였다. 피보나치는 이집트, 시리아, 그리스, 시칠리아와 프로방스에서 다양한 공부를 하였고, 그곳에서 인도의 기수법과 아라비아 숫자를 사용하여 10진법으로 계산하는 것을 알게 되었다. 피보나치는 이런 다양한 경험을 살려서 피사로 돌..

삽입 정렬(Insertion Sort) 삽입 정렬(Insertion Sort) 배열에서 특정 key 값이 정해지고, 그 key 값 앞에 있는 배열의 요소들이 오름차순으로 정렬되어 있을 때, key 값이 삽입될 위치를 찾아서 그 위치에 key 값을 삽입하면서 정렬해 나가는 방식 두 번째 요소를 key 값으로 정해서 두 번째 요소가 삽입될 위치를 찾아서 첫 번째 요소부터 두 번째 요소까지 정렬시키고, 다시 세 번째 요소를 key 값으로 정해서 세 번째 요소가 삽입될 위치를 찾아서 첫 번째 요소부터 세 번째 요소까지 정렬시키고 다시 네 번째 요소를 key 값으로 정해서 네 번째 요소가 삽입될 위치를 찾아서 첫 번째 요소부터 네 번째 요소까지 정렬시키고, 다섯 번째 요소를 key 값으로 정해서 다섯 번째 요소가..

버블 정렬(Bubble Sort) 버블 정렬(Bubble Sort) 배열에서 가장 큰 값을 찾아서 마지막에 배치시키고, 다음으로 큰 값을 찾아서 끝에서 두 번째에 배치시키고, 다음으로 큰 값을 찾아서 끝에서 세 번째에 배치시키면서 정렬해 나가는 방식 거품 모양과 같아서 버블 정렬(Bubble Sort)이라고 한다. 구현 $O(n^{2})$ 으로 구현하기 #include using namespace std; #define N 5 int main() { int a[N] = { 7, 6, 9, 5, 8 }; int tmp; for (int i = 0; i a[j + 1]) { tmp = ..

선택 정렬(Selection Sort) 데이터의 교환 스왑(Swap) : 두 변수의 값을 서로 교환하는 작업 다음과 같이 임시 변수(temp)를 생성하여 데이터 교환 작업을 수행할 수 있다. temp = a; a = b; b = temp; 다음과 같이 콤마 연산자(Comma Operator)를 사용하여 한 줄로 처리할 수도 있다. temp = a, a = b, b = temp; 오름차순 정렬(Ascending Sort) 순서 없이 나열된 자료를 작은 순에서 큰 순으로 다시 재배열하는 작업 내림차순 정렬(Descending Sort) 순서 없이 나열된 자료를 큰 순에서 작은 순으로 다시 재배열하는 작업 선택 정렬(Selection Sort) 배열에서 가장 작은 값을 찾아서 배열의 첫 번째에 배치시키고, 다..

최대(Max), 최소(Min), 최빈(Mode) 최대(Max)와 최소(Min) 주어진 배열에서 최댓값과 최솟값을 찾는 알고리즘은 다음과 같다. 만약 배열을 검색해서 max/min 보다 큰/작은 값이 없다면 처음에 가정으로 세운 max/min 값이 최댓값/최솟값이 된다. 최댓값 구하기 ① 배열의 첫 번째 값을 최댓값(max)이라 가정한다. ② 배열을 검색해서 max 보다 큰 값(x)이 있으면 max 값을 x로 변경해준다. (max = x) ③ 결국 마지막엔 최댓값이 max 변수에 남게 된다. 최솟값 구하기 ① 배열의 첫 번째 값을 최솟값(min)이라 가정한다. ② 배열을 검색해서 min보다 작은 값(y)이 있으면 min 값을 y로 변경해준다. (min = y) ③ 결국 마지막엔 최솟값이 min 변수에 남게..

양적 자료의 정리 수집한 양적 자료의 특성을 알기 쉽게 정리하기 위해 개개의 측정값을 이용하거나 적당한 구간으로 집단화하여 표 또는 그림으로 표현할 수 있다. 점도표(Dot Plot) 질적 자료에서 사용한 점도표는 양적 자료에도 사용할 수 있다. 점도표는 다음과 같은 특성을 갖는다. (1) 각 자료의 정확한 측정값을 알 수 있다. (2) 전체 자료의 흩어진 분포 모양을 알 수 있다. (3) 관찰값의 수만큼 점을 찍어서 나타내므로 자료의 수가 많으면 부적절하다. 도수 분포표(Frequency Distribution Table) 양적 자료를 일정한 간격으로 묶어서 집단화하는 방법으로 도수 분포표를 사용한다. 양적 자료를 적당한 간격으로 집단화하여 계급, 도수, 상대 도수, 누적 도수, 누적 상대 도수, 계급..

질적 자료의 정리 점도표(Dot Plot) 수집한 범주형 자료에 대해 수평축에 각 범주를 작성하고 수직 방향으로 각 범주의 측정값에 해당하는 수만큼 점으로 나타낸 그림 각 범주의 관찰 도수 만큼 점으로 표현하므로, 관찰한 도수의 수가 많으면 불편하다. 예 도수표(Frequency Table) 각 범주의 도수와 상대 도수 또는 범주의 백분율을 기입하여 보여주는 표 상대적인 크기를 보여주지만, 그림에 비해 이해력이 떨어진다는 단점이 있다. 도수, 상대 도수, 범주의 백분율은 각각 다음과 같다. - 도수(Frequency) : 각 범주에 대해 관찰된 자료 수 - 상대 도수(Relative Frequency) : 각 범주의 도수를 전체 도수로 나눈 값 $\displaystyle \text{상대 도수} = \fr..

자료의 종류 통계적인 목적에 맞춰서 수집된 대상을 자료(Data)라고 한다. 이러한 자료를 수집하여 분석하거나, 이를 표 또는 그림으로 표현하여 수집한 자료로부터 의미 있는 정보를 얻어내는 일련의 과정을 통계(Statistics)라고 한다. 자료의 종류 자료(Data)는 숫자에 의해 표현되는지 그렇지 않은지에 따라 크게 2가지로 분류된다. 양적 자료(Qualitative Data)와 질적 자료(Quantitative Data) 혈액형은 A형, B형, AB형, O형이라는 범주로 구분될 뿐 숫자에 의해 표현할 수 없다. 키 또는 몸무게에 대한 자료는 범주가 아닌 숫자로 표현되며, 숫자에 대해 대소 관계 또는 크기 관계가 구분된다. 이와 같이 범주로 표현되는 자료를 질적 자료라 하고, 숫자에 의해 표현되는 자..

적분법 적분은 미분의 역산으로, 연속 확률 변수에 대한 확률을 계산할 때 사용한다. 또한, 연속 확률 변수의 확률 밀도 함수를 적분하여 분포 함수를 얻으므로, 적분의 개념은 확률에서 매우 중요하다. 부정 적분(Indefinite Integral) 연속 함수 `f(x)` 가 주어졌을 때, 이 함수를 도함수로 가지는 함수 `F(x)` 가 존재하면, 함수 `F(x)` 를 `f(x)` 의 부정 적분(Indefinite Integral) 또는 원시 함수(Primitive Function)라 한다. 원시 함수와 도함수 사이에는 다음 관계가 성립한다. $$F'(x) = f(x)$$ 이때 `F(x)` 를 다음과 같이 나타내며, 기호 $\int$ 를 적분 기호(Symbol of Integral), `f(x)` 를 피 적..

논리적 동치 합성 명제는 하나 이상의 단순 명제를 논리 연산자로 결합한 형태이므로 복잡한 형태일 수도 있다. 합성 명제가 복잡하다는 것은 컴퓨터 시스템에서 표현하고 연산해야 하는 논리 연산의 수가 많음을 의미한다. 이렇게 많은 논리 연산으로 복잡하게 표현된 합성 명제를 진릿값이 같으면서 단순한 논리 연산으로 표현된 합성 명제로 대체한다면, 컴퓨터 시스템에서도 같은 결과를 내면서 간단하고 빠르게 표현하고 연산할 수 있을 것이다. 논리적 동치(Logically Equivalence : $P ≡ Q$) 두 합성 명제 `P` 와 `Q` 의 진릿값이 서로 같은 경우 두 합성 명제 `P, Q` 에 대하여 `P ≡ Q` 일 때 '합성 명제 `P` 와 `Q` 는 동치이다' 또는 '합성 명제 `P` 와 `Q` 는 같다'..

합성 명제 논리 연산자의 우선 순위 합성 명제는 하나 이상의 단순 명제를 논리 연산자로 결합한 명제를 말한다. 합성 명제의 진릿값은 각 단순 명제의 진릿값에 따라 달라지지만, 논리 연산자의 연산 순서 또한 진릿값을 결정하는 데 영향을 미친다. 우선순위 논리 연산자 1 $\neg$ 2 $\land$ 3 $\lor$ 4 $→$ 5 $↔$ 합성 명제에서 괄호로 묶은 연산은 먼저 해야 한다. 예) $(\neg p \lor q) \land r$ $\lor$ 가 $\land$ 보다 우선 순위가 낮지만, $\lor$ 는 괄호 안의 연산이므로 $\neg p$ 와 `q` 를 $\lor$ 연산한 후 `r` 과 $\land$ 연산한다. 그러므로 합성 명제 $(\neg p \lor q) \land r$ 과 $\neg p \l..

조건 명제 앞 글에서 합성 명제를 구성하는 단순 명제에 대해 어떤 역할을 부여하지 않았다. 그러나 단순 명제에 역할을 부여해 그 단순 명제의 역할이 무엇이냐에 따라 진릿값이 결정되는 합성 명제가 있는데, 조건 명제가 이에 해당한다. 조건 명제(Conditional Proposition : $p → q$) / 함축(Implication) 명제 `p, q` 에 대하여, 명제 `p` 가 전제(Premise) 또는 가정(Hypothesis)이고 명제 `q` 가 결론(Conclusion) 또는 결과(Consequence)인 명제 '지구의 자전축이 기울어져 있다면, 지구의 계절은 바뀐다'는 '지구의 자전축이 기울어져 있다(`p`)'와 `지구의 계절은 바뀐다.(`q`)' 라는 두 명제를 결합한 합성 명제이다. `p`..

논리 연산자 일반적으로 명제 하나를 단순 명제(Simple Proposition)라고 한다. 하나 이상의 단순 명제를 부정, 논리곱, 논리합, 베타적 논리합과 같은 논리 연산자로 결합하면 새로운 하나의 명제가 되기도 하는데, 이를 합성 명제(Compound Proposition)라고 한다. 합성 명제(Compound Proposition) 하나 이상의 명제들이 논리 연산자에 의해 결합된 명제 합성 명제를 구성하는 단순 명제의 진릿값과 논리 연산자에 따라 합성 명제의 진릿값은 달라진다. 그러므로 합성 명제의 진릿값을 판별하기 위해 진리표(Truth Table)를 사용한다. 진리표(Truth Table) 합성 명제를 구성하는 단순 명제의 진릿값에 따른 논리 연산 결과를 나타낸 표 ① 부정(NOT : $\ne..

명제 현실 세계를 간략하고 정확하게 판별하도록 표현한 문장 수학적 논리를 구성하는 가장 기본적인 단위 명제는 누구나 객관적으로 참(T)과 거짓(F)을 구분할 수 있어야 한다. 진릿값(Truth Value) 참(True : T)이나 거짓(False : F)을 가리키는 값 명제(Proposition) 객관적인 기준으로 진릿값을 구분할 수 있는 문장이나 수식 일반적으로 명제는 영문 소문자 $p, \;q, \;r, \;\cdots$ 로 표현 명제는 객관적으로 참(T)과 거짓(F)을 구분할 수 있는 문자이어야 한다. 명제가 아닌 예 '짜장면은 맛있다.' 와 같은 문장은 주관적 판단에 따라 답이 달라질 수 있는 문장이다. `x + 1 = 2` 와 같은 식은 미지수 `x` 값에 따라 참(T)과 거짓(F)이 달라질 수..

일차원 배열의 시프트(Shift) 배열의 1번 인덱스부터 사용하기개발을 한다거나 또는 과거와 같이 메모리 절약을 위해서는 배열을 0번 인덱스부터 사용하는 것이 일반화되어 있다.하지만, 코딩 테스트를 위해서 수학적인 계산을 한다거나 또는 알고리즘(Algorithm)을 활용하여 문제를 해결하기 위해서는 0번 인덱스를 비워두고 1번 인덱스부터 사용하는 것이 문제를 계산하기에 조금 더 편리할 때가 많이 있다.배열을 1번 인덱스부터 사용하고자 할 때, 배열의 0번 인덱스의 공간을 만들지 않고 바로 1번 인덱스의 공간부터 만들어 사용할 수는 없다.따라서 배열을 선언할 때 입력으로 들어오는 데이터의 최대 개수(N)부터 배열의 길이는 항상 1개가 더 많도록(N+1) 선언되어야 한다. 왼쪽 시프트(Left Shift)일..

배열(Array) 배열(Array)많은 양의 데이터를 한꺼번에 일괄적으로 처리하고자 할 때, 유용하게 사용될 수 있는 변수들의 모임배열 선언 방법int a[10]; // 자료형 배열_이름[배열_길이] 배열의 각각의 요소 a[0], a[1], a[2], …, a[9] 를 요소(Element)라고 한다.배열 각각의 값은 대괄호([]) 안의 숫자로 나타내는데, 이를 배열의 인덱스(Index) 또는 첨자라고 한다. 배열의 선언 방법방법 ① int a[5] = { 1, 2, 3, 4, 5 };배열의 길이와 요소를 선언과 동시에 초기화 해주는 방법이다. 방법 ②int b[] = { 1, 2, 3, 4, 5 };배열의 길이는 초기화하지 않고, 배열의 요소를 선언과 동시에 초기화 해주는 방법이다.프로그램은 초기화..

미분법 도함수는 그래프 위의 한 점에서 접선의 방정식을 구하거나 함수의 최댓값과 최솟값을 구하기 위한 도구로 사용될 뿐만 아니라 확률에서도 매우 중요한 역할을 한다. 미분 계수와 도함수 곡선 위의 한 점에서 이 곡선에 대한 접선의 방정식을 구하기 위한 수학적 도구인 미분 계수와 도함수의 개념을 살펴보자. 평균 변화율(Average Rate of Change) 함수 `y = f(x)` 에 대해 다음과 같이 `x` 가 `a` 에서 `b` 까지 변할 때, `y` 의 값은 `f(a)` 에서 `f(b)` 로 변한다. 이때 `x` 의 변화량 `b - a` 를 `x` 의 증분(Increments)이라 하고, `Δx = b - a` 로 나타낸다. 그리고 `y` 의 변화량 `f(b) - f(a)` 를 `y` 의 증분이라..

함수의 극한과 연속 함수의 극한(Limit)은 도함수를 정의하기 위한 기초 도구로 사용된다. 함수의 연속성은 연속 확률 변수와 확률 분포에서 매우 중요한 역할을 담당한다. 함수의 극한 함수 `y = f(x)` 에 대해 변수 `x` 가 실수 `1` 에 한없이 가까워질 때, 함숫값 `f(x)` 가 어떻게 변하는지 살펴보자. 함수 `f(x) = x + 1` 은 `x = 1` 에서 함숫값 `f(1) = 2` 가 존재한다. 변수 `x` 가 실수 `1` 에 가까워질수록 직선 위의 점은 점 `(1, 2)` 에 가까워진다. 따라서 함숫값 `f(x)` 는 `2` 에 가까워지는 것을 알 수 있다. 한편, 함수 $g(x) = \frac{x^{2}-1}{x-1}$ 은 `x = 1` 에서 함숫값 `g(1)` 이 존재하지 않는다..

컴퓨터에서의 수의 표현과 연산 컴퓨터에서의 연산은 2진수 표현만으로는 덧셈과 곱셈 연산만 가능하다. 컴퓨터는 기본적인 2진수 표현에 대한 보수(Complement) 표현으로 바꿔서 뺄셈과 나눗셈 연산을 수행한다. 보수(Complement) 보충해주는 수 어떤 수 `a` 에 대한 `n` 의 보수는 `a` 와의 합이 `n` 이 되는 수 기수가 `n` 인 어떤 수 `a` 에 대한 `n` 의 보수는 `n` 으로부터 `a` 까지 떨어진 거리라고도 할 수 있다. `n` 진수에서의 보수는 `n` 의 보수와 `n - 1` 의 보수가 존재한다. 10진수에는 10의 보수와 9의 보수가 존재하고, 5진수에는 5의 보수와 4의 보수가 존재하는 것처럼, 2진수를 사용하는 컴퓨터에서는 2의 보수와 1의 보수가 존재한다. 1의 보..

진법별 사칙연산 올림수와 빌림수 진법별로 덧셈에서 올림수가 발생하는 경우나, 뺄셈에서의 빌림수가 다를 뿐, 기본적으로 사칙연산의 원리는 진법에 상관 없이 같다. 10진수, 2진수, 8진수, 16진수는 각각 두 수의 합이 10, 2, 8, 16 이상이면 올림수가 발생한다. 10진수, 2진수, 8진수, 16진수의 뺄셈의 빌림수는 각각 10, 2, 8, 16이다. 올림수(Carry Digit) 덧셈에서 두 수의 덧셈 결과가 10(10진수), 2(2진수), 8(8진수), 16(16진수) 이상일 때 상위에 올리는 수 1이 올림수에 해당된다. 빌림수(Borrow Digit) 뺄셈 피연산자1 - 피연산자2 에서 피연산자1 < 피연산자2 일 때 하위에 빌려주는 수 10(10진수), 2(2진수), 8(8진수), 16(1..

경우의 수 어떤 상황에 부딪혔을 때, 그 상황에서 나타날 수 있는 모든 경우의 수를 생각해야 할 때가 빈번히 발생한다. 합의 법칙과 곱의 법칙 합의 법칙(Rule of Addition) 서로 소인 두 집합 `A` 와 `B` 의 원소의 수를 각각 `n(A)`, `n(B)` 라고 하면, 두 집합이 서로 소이므로 합집합 `A ∪ B` 의 원소의 개수는 `n(A ∪ B) = n(A) + n(B)` 이다. 이와 같이 동시에 발생하지 않는 두 사건 `A` 와 `B` 가 일어나는 경우의 수를 각각 `m` 과 `n` 이라 할 때, 사건 `A` 또는 사건 `B` 가 일어나는 경우의 수는 `m + n` 이고, 이를 합의 법칙 (Rule of Addition)이라 한다. 예제 1 : 책상 위에 서로 다른 연필 5자루와 서로..

함수 확률 현상에서 발생하는 특정한 성질을 나타내기 위해 확률 변수를 사용하는데, 이때 확률 변수에 대한 함수를 이용하면 확률을 쉽게 계산할 수 있다. 함수의 의미 공집합이 아닌 두 집합 `X` 와 `Y` 에 대해 `X` 안의 각 원소 `x` 를 `Y` 안에 있는 오직 한 원소 `y` 에 대응시키는 관계 `f` 를 함수(Function)라 하고, $f : X → Y, \; y = f(x)$ 로 나타낸다. `x` 의 집합 `X` 를 함수 `f` 의 정의역(Domain)이라 하고 $dom(f)$(또는 $D_{f}$) 로 나타낸다. `y` 의 집합 `Y` 를 함수 `f` 의 공역(Codomain)이라 한다. 특히 `y = f(x)` 를 함수라 하면, `x` 값이 정해지면 대응 관계 `f` 에 의해 `y` 값이..

진법 간 변환 사람이 사용하는 수로 컴퓨터에 데이터를 입력하거나 연산을 요구하면, 컴퓨터는 자신이 사용하는 2진수로 변환하여 처리하며, 데이터가 방대해짐에 따라 8진수나 16진수로 표현하기도 한다. 10진수와 2진수는 어떤 진법으로든 변환이 가능하지만, 8진수와 16진수는 서로 직접 변환이 불가능하다. 그러므로 8진수를 16진수로, 또는 16진수를 8진수로 변환하기 위해서는 먼저 10진수나 2진수로 변환한 후에 8진수나 16진수로 변환해야 한다. [1] 10진수 → 2진수 / 8진수 / 16진수 10진 실수를 2진수, 8진수 또는 16진수로 변환할 때는 정수부와 소수부를 변환하는 방법이 다르다. 정수부 구하기 몫이 0이 될 때까지 변환하려는 기수로 나누면서 각 단계마다 나오는 나머지를 나열하는 방식으로 ..

진법별 표현 몇 개의 숫자를 이용하여 수를 표현하느냐에 따라 진법이 결정된다. `n` 진법과 `n` 진수 `0` 부터 `n - 1` 까지의 숫자로 수를 표현하는 방법과 그렇게 표현한 수 현재 사용하고 있는 진법의 표기를 기수(Base)라고 한다. 만약 `n` 진법을 사용하고 있다면 기수는 `n` 으로, 표현한 수의 오른쪽 끝에 아래 첨자로 표기한다. 예) $1365_{10}$ (10진수) 10진수는 기수를 생략하여 $1365$ 로만 작성할 수 있다. 예) $1365_{8}$ (8진수) 기수에 따라 읽는 방법도 다르다. 10진수는 천, 백, 십, 일 단위를 붙여 읽는다. $1365_{10}$ : 천삼백육십오 2진수, 8진수, 16진수는 숫자를 하나씩 순서대로 읽는다. $1101_{2}$ : 2진수 일일공일..