Per ardua ad astra.

모비율의 검정 이 페이지에서는 정당의 지지율, TV 프로그램의 시청률 또는 생산 제품의 불량률 등과 같은 모집단의 비율에 대한 주장을 검정하는 방법을 살펴본다. 단일 모비율에 대한 검정 모비율 `p` 에 대한 추정을 위해 표본 비율 $\hat{p}$ 를 사용한 것과 동일하게, 모비율 `p` 에 대한 가설을 검정하기 위해 표본 비율 $\hat{p}$ 를 사용한다. 그러면 모비율 $p$ 에 대해 다음과 같은 3가지 유형의 귀무 가설을 생각할 수 있다. $$H_{0} : p = p_{0}, \quad H_{0} : p \le p_{0}, \quad H_{0} : p \ge p_{0}$$ 그리고 이에 대한 대립 가설은 각각 다음과 같다. $$H_{0} : p \ne p_{0}, \quad H_{0} : p > ..

모평균의 검정 (σ² : 미지) 이전 글에서는 모집단의 분산을 알고 있는 경우에 모평균과 두 모평균 차에 대한 주장을 검정하는 방법을 살펴보았다. 그러나 대부분의 모집단은 모분산이 알려져 있지 않다. 따라서 모분산을 모르는 경우에 모평균에 대한 주장을 검정하는 방법을 살펴볼 필요가 있다. 모분산이 알려져 있지 않은 경우에는 정규 분포와 매우 흡사한 `t`-분포를 사용한다. 이 페이지에서는 `t`-분포를 이용하여 모분산이 알려져 있지 않은 정규 모집단의 모평균과 두 모평균의 차에 대한 주장을 검정하는 방법을 살펴본다. `t`-검정(`t`-Test) 근대 통계학의 기초가 되는 소표본론에서 많은 업적을 남긴 영국의 통계학자인 윌리엄 고셋(William Sealey Gosset, 1876-1937)이 소표본을 ..

모평균의 검정(σ² : 기지) 일반적으로 모평균에 대한 주장을 검정하기 위해 모집단은 정규 분포를 따른다고 가정한다. 그러면 모분산을 알고 있는 모평균에 대한 주장을 검정하기 위해 사용하는 확률 분포는 정규 분포이다. 특히 이 경우에 사용하는 검정 통계량은 표본 평균 $\overline{X}$ 의 표준화 확률 변수인 `Z` 이다. 이 페이지에서는 모분산이 알려져 있는 단일 정규 모집단의 모평균과 독립인 두 모집단의 모평균 차에 대한 귀무 가설을 검정하는 방법에 대해 살펴본다. 모평균에 대한 검정 모평균에 대한 양측 검정 모분산 $σ^{2}$ 이 알려진 정규 모집단에서 귀무 가설 $H_{0} : μ = μ_{0}$ 라는 주장과 이에 대립하는 대립 가설 $H_{1} : μ \ne μ_{0}$ 를 검정하는 방..

통계적 가설 검정 어느 학원에서 합격률이 전국 최고인 85.4% 라는 광고를 한다고 하자. 그러면 이 학원의 주장이 참인지 아니면 거짓인지 확인할 필요가 있을 것이다. 이와 같이 모수에 대한 주장을 검정하기 위해 반대인 주장을 설정하고, 어느 주장이 참인지 검정하는 일반적인 방법을 살펴본다. 가설 검정의 의미 합격률이 전국 최고인 85.4% 라는 광고가 참인지 확인하기 위해서는, 이 주장을 타당한 것으로 인정하고 이와 반대되는 주장을 설정한다. 그리고 이러한 두 주장 중에서 어느 것이 참인지 결정해야 한다. 이 때, 임의로 표본을 선정하고, 검정을 위한 표본 통계량을 이용하여 얻은 정보를 근거로 어느 주장이 참인지 판정한다. 이와 같이 참인지 거짓인지 명확히 밝히고자 하는 모수에 대한 주장을 가설(Hyp..

모비율의 추정 모비율의 신뢰 구간 표본의 크기 `n` 이 충분히 크다면, 모집단의 모비율 `p` 에 대한 점 추정량은 표본 비율 $\displaystyle \hat{p} = \frac{X}{n}$ 이고, $\hat{p}$ 는 다음과 같은 정규 분포에 근사한다. (관련 내용 바로가기) $\displaystyle \hat{p} \approx N(p, \; \frac{pq}{n})$ 또는 $\displaystyle Z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{pq}{n}}} \approx N(0, \; 1)$ (단, $q = 1 - p$) 그러므로 다음을 얻는다. $$P(|Z| \le z_{\frac{α}{2}}) \approx 1 - α \\ P \left( \left | \frac{\ha..

모평균의 추정 대부분의 모집단은 분포를 비롯하여 모집단의 특성을 나타내는 모수가 알려져 있지 않다. 따라서 표본을 선정하여 얻은 정보를 이용하여 모집단의 모수를 과학적으로 추론할 필요가 있다. 이와 같이 모집단으로부터 선정한 표본을 통해 얻은 정보를 이용하여 미지의 모수를 추측하는 것을 추정(Estimate)이라 한다. 이 때, 모집단이 정규 분포를 따르면 표본의 크기 `n` 에 관계 없이 표본 평균 $\overline{X}$ 는 정규 분포를 따른다. 그리고 모집단 분포가 정규 분포가 아닌 경우에도 표본의 크기 `n` 이 충분히 크면 표본 평균 $\overline{X}$ 가 근사적으로 정규 분포를 따르는 것을 살펴보았다. 이 페이지에서는 모집단으로부터 표본을 선정하여 과학적인 방법으로 모평균을 추정하는 ..

그래프의 활용 네트워크의 데이터 흐름이나 스케줄링, 논리회로 설계, 정렬, 탐색, 인공지능의 지식 정보 생성 과정 등 그리고 실생활에서 많이 접할 수 있는 도로망 설계나 버스 및 지하철 노선 설계 등과 같이 어떤 문제를 해결하기 위한 모델링 과정에서 그래프 이론은 매우 중요하게 쓰인다. 이러한 모델링에서 최단 경로를 구하거나 정보 탐색을 하는 방법이 많이 쓰인다. 최단 경로 문제(Shortest Path Problem) $|E| > 0$ 인 연결 그래프 $G = (V, \; E)$ 에서 정점 $v_{1}, v_{2} \in V$ 간의 가장 짧은 거리의 경로를 찾는 문제 지도의 어떤 지역 A에서 다른 지역 B로 이동하는 경로나, 네트워크의 어떤 호스트 A에서 다른 호스트 B로 이동하는 경로는 다양할 수 있..

오일러와 해밀턴 연결 그래프에는 하나의 정점에서 다른 정점으로 가는 다양한 길이 존재할 수 있는데, 그 중에서 같은 변을 반복적으로 지나지 않는 길이 경로이다. 순환(Cycle) / 회로(Circuit) 연결 그래프에서 시작하는 정점과 끝나는 정점이 같은 경로 길이(Length) 경로 또는 순환을 구성하는 변의 수 한 그래프에 포함되는 임의의 정점에서 다른 정점 혹은 다시 원래의 정점으로 가는 길은 다양하다. 그중 변을 한 번씩만 지나 다른 정점으로 가는 길은 경로이고, 원래의 정점으로 다시 돌아오는 경로는 순환이다. 예 (1) $a - c - d - f$ (2) $a - e - c - d - b - f$ (3) $a - c - e - a$ (4) $a - e - c - a$ (5) $a - c - d ..

그래프의 표현 그래프는 수학적 기호와 그림뿐 만 아니라 그래프를 이용한 연산이나 데이터의 구조를 나타내기 위해 행렬이나 리스트 형태로 표현하기도 한다. 인접 행렬(Adjacency Matrix : $A_{G}$) 그래프 $G = (E, \; A)$ 에서 $|V| = n$ 일 때, $n \times n$ 행렬 $A_{G} = [a_{ij}]$ $$a_{ij} = \begin{cases} \text{해당 정점에 근접하는 변의 수} &, (v_{i},\; v_{j}) \in E \\ 0 & , (v_{i}, \; v_{j}) \not \in E \end{cases}$$ 관계를 행렬로 표현하는 관계 행렬은 관계 집합에 순서쌍 원소가 있는지 없는지를 1과 0으로 표현하는 행렬로, 부울 행렬의 형태이다. 그래프도 ..

그래프의 종류 그래프는 정점과 변이 어떻게 구성되는지에 따라 종류를 구분한다. 부분 그래프와 신장 부분 그래프 부분 그래프(Subgraph) 그래프 $G = (V, \; E)$ 에 대하여, $V' ⊆ V$ 이고 $E' ⊆ E$ 인 정점과 변으로 구성된 $G \ne G'$ 인 그래프 $G' = (V', \; E')$ 신장 부분 그래프(Spanning Subgraph) 그래프 $G = (V, \; E)$ 에 대하여, $V' = V$ 이고 $E' ⊆ E$ 인 정점과 변으로 구성된 그래프 $G' = (V', \; E')$ 부분 그래프 `G'` 은 어떤 그래프 `G` 에 포함된 정점과 변의 일부 또는 전체로 구성된 그래프이다. 부분 그래프 `G'` 을 구성하는 정점의 집합과 변의 집합은 각각 그래프 `G` 의 정..

그래프의 개념 점과 선을 이용해 개념, 구조 또는 과정 등을 이해하는 데 필요한 주요 요소 간의 관계, 거리, 비용 등을 시각적으로 표현한 도구를 그래프(Graph)라고 한다. 그래프는 글이나 수식으로는 복잡하고 어렵게 표현되는 것을 그림으로 표현하기 때문에 컴퓨터 시스템의 회로나 네트워크 설계나 구조, 프로그램의 알고리즘, 인공지능의 지식 정보의 파생 과정 및 내용 등을 표현하는 데 효율적이고 효과적으로 활용된다. 그래프는 정점과 변으로 표현되기 때문에 정점에 대한 정보와 변에 대한 정보를 정의함으로써 그래프를 정의하고 표현한다. 그래프는 보통 그림 형태로 표현하지만, 집합 표현과 같은 수학적 기호로 표현할 수도 있다. 그래프의 정의와 표현 그래프(Graph : $G = (V, \; E)$ ) 공집합이..

모집단과 표본 기술 통계학에서 통계 목적에 부합하는 모든 자료 집단을 모집단이라고 한다. 예를 들어, 우리나라는 5년 주기로 인구 주택 총조사를 실시한다. 이 때 모든 가구를 대상으로 가족 구성원의 연령을 비롯하여 가구 형태 등을 조사한다. 이와 같이 통계 목적에 부합하는 모든 자료들의 집단을 모집단이라고 하며, 이 모집단 전체를 대상으로 조사하는 것을 전수 조사(Complete Survey)라 한다. 한편, 선거철이 되면 방송이나 신문에서 "신뢰도 95%와 표본 오차 5%에서 A 후보의 지지율이 30% 이다." 라는 내용을 자주 접한다. 이 경우는 모든 유권자(모집단) 중에서 일부(표본)만 대상으로 조사한 결과를 나타낸다. 이와 같이 표본을 대상으로 조사하는 것을 표본 조사(Sampling Survey..

연속 확률 분포 종 모양의 대칭형인 연속 확률 분포를 정규 분포라 한다. 정규 분포(Normal Distribution) 연속 확률 변수 `X` 의 확률 밀도 함수 `f(x)` 가 다음과 같을 때, 확률 변수 `X` 는 모수 `μ` 와 $σ^{2}$ 인 정규 분포(Normal Distribution)를 따른다 하고, $X \sim N(μ, σ^{2})$ 으로 나타낸다. $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}σ}e^{-\frac{(x - μ)^{2}}{2σ^{2}}}, \quad -\infty < x < \infty$$ 자연 현상이나 사회 현상에서 얻게 되는 대부분의 자료에 대한 히스토그램은 자료의 수가 클수록 계급 간격이 좁아지고, 아래와 같이 좌우 대칭인 종 모양의 곡선에 가까워진다. 또한 ..

함수의 종류 항등 함수(Identity Function : $I_{A}$ ) 집합 `A` 에 대한 함수 $f : A \rightarrow A$ 가 $f(a) = a$ 로 정의되는 관계 항등 함수가 성립하려면 함수의 정의역, 공역, 치역 집합이 모두 상등이어야 한다. 항등 함수는 정의역의 원소 $x_{1}, x_{2}$ 가 $x_{1} \ne x_{2}$ 일 때 $f(x_{1}) = x_{1} \ne x_{2} = f(x_{2})$ 이므로 단사 함수이고, 모든 공역의 원소 `y` 에 대하여 `f(x) = y` 를 만족하는 정의역 원소 `x` 를 가지므로 전사 함수이다. 따라서 항등 함수는 전단사 함수이다. 예 집합 $A = \{-1, 0, 1 \}$ 에 대한 함수 $f_{1}(x) = x$ 와 $f_{2}..

합성 함수 합성 함수의 정의 삼각 함수 공식 중 $\sin (α + β)$ 와 같은 식이 있다. 이 식은 다음과 같이 두 함수 `f(x)` 와 `g(x, y)` 를 합성한 결과이다. $$f(x) = sin(x), \; g(x, y) = x + y \quad \Rightarrow \quad sin(α + β) = f(g(α, β))$$ 이처럼 최초 입력을 이용해 2개 이상의 함수를 차례로 연산하여 최종 출력을 내어 입력과 출력을 대응하는 함수를 합성 함수라고 한다. 합성 함수(Composite Function : $g \circ f$ ) 두 함수 $f : A \rightarrow B$ 와 $g : B \rightarrow C$ 가 있을 때, 집합 `A` 의 각 원소를 집합 `C` 의 원소에 대응하는 함수 ..

이산 확률 분포 일반적으로 통계 모형에서 사용되는 확률 분포는 확률 함수에 의해 결정되는데, 이 때 확률 함수를 살펴보면 특정한 숫자에 의해 동일한 유형으로 나타난다. 특히 이산 확률 변수의 확률 분포를 이산 확률 분포라 한다. 베르누이 분포(Bernoulli Distribution) 동전 던지기의 앞면과 뒷면, 생산한 제품의 양호와 불량, 그리고 설문조사의 YES와 NO 등과 같이 실험 결과가 2가지인 확률 실험을 베르누이 실험(Bernoulli Experiment)이라 한다. 이 실험에서 관심의 대상이 되는 실험 결과를 성공, 그렇지 않은 결과를 실패라 하고, 성공의 확률 `p` 를 성공률(Rate of Success)이라 한다. 예 주사위를 던져서 1의 눈이 나오는 게임을 한다면, 관심의 대상은 1..

확률 변수의 평균과 분산 양적 자료에 대한 평균은 도수 히스토그램의 중심 위치를 나타내고, 분산은 평균을 중심으로 흩어진 정도를 나타낸다. 이와 마찬가지로 확률 변수 `X` 의 분포에 대한 중심 위치인 평균과 이 값을 중심으로 흩어진 정도인 분산을 정의할 수 있다. 확률 변수의 평균 어느 마트에서 창립 기념으로 고객에게 상품권을 제공하는 시은행사를 실시한다. 이 마트에서 제작한 복권의 수와 상품권 금액은 다음과 같다. 상품권 복권 수 100만원 2 50만원 8 10만원 10 0원 30 이 마트에서 고객에게 제공하는 상금의 평균을 $\overline{x}$ 라 하면 다음과 같이 구할 수 있다. $$\overline{x} = \frac{1}{50}(0 \times 30 + 10 \times 10 + 50 \..

연속 확률 변수 이산 확률 변수는 확률 변수 `X` 가 취할 수 있는 값이 하나하나 떨어져 있으며, 그 값이 유한개이거나 셀 수 있는 값이다. 그러나 하루 동안 최저 온도 -10℃ 에서 최고 온도 5℃까지 수온주의 높이를 확률 변수 `X` 라 하면, `X` 가 취할 수 있는 값은 구간 [-10, 5] 안의 모든 실수로 나타난다. 이와 같이 확률 변수 `X` 의 상태 공간이 구간으로 나타나는 경우에도 확률 함수와 분포 함수 및 확률을 계산할 수 있다. 연속 확률 변수의 의미 온도계 수온주의 높이, 택시 정류장에서 기다리는 시간, 새로 교체한 전구의 수명 등과 같이 확률 변수가 취하는 값이 어떤 구간인 경우를 생각할 수 있다. 이 때, 온도계 수온주의 높이는 유한 구간이고, 전구의 수명은 무한 구간이다. 연..

함수의 성질 함수의 입력과 출력의 대응 형태에 따라 함수의 성질이 결정된다. 함수의 성질을 알면 정의역과 공역의 관계뿐만 아니라 공역과 치역 간의 포함 관계도 알 수 있다. 이는 컴퓨터 및 인공지능 시스템에서 자료의 활용을 계획하는 데 좋은 정보가 된다. 함수는 정의역과 공역의 대응 관계에 따라서 단사 함수, 전사 함수, 전단사 함수로 구분한다. 단사 함수(Injective Function, Injection, One-to-One Function) = 일대일 함수 함수 $f \; : \; X \rightarrow Y$ 가 있을 때, 임의의 두 정의역 원소 $x_{1}, \; x_{2} \; \in \; X$ 에 대하여 $x_{1} \ne x_{2}$ 이면 $f(x_{1}) \ne f(x_{2})$ 인 함..

함수의 개념 관계(Relation)는 두 집합의 원소들 사이의 대응을 정의한 것이다. 함수는 입력과 출력이 일대일로 대응하는 관계의 한 형태이다. 함수(Function : $f \; : \; A \rightarrow B$) 집합 `A` 에서 집합 `B` 로 가는 관계가 성립할 때, 집합 `A` 의 임의의 원소 `a` 에 대하여 집합 `B` 의 원소 `b` 하나가 대응되는 관계 함수 용어 정리 : 원상(Preimage), 상(Image), 정의역(Domain), 공역(Codomain), 치역(Range) 집합 `A` 에서 집합 `B` 로 가는 함수 $f \; : \; A \rightarrow B$ 에 대하여, ① 원상(Preimage) : 집합 `B` 의 원소 `b` 와 대응하는 집합 `A` 의 원소 `a..

이산 확률 변수 이산 확률 변수의 의미 동전을 두 번 던지는 게임에서 앞면이 나온 횟수를 `X` 로 나타내면, `X` 를 이용하여 앞면이 나온 횟수라는 특성에 따라 구분된 사건을 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다. $$ \eqalign{ \{ HH \} &\Leftrightarrow X = 2 \\ \{ HT, TH \} &\Leftrightarrow X = 1 \\ \{ TT \} &\Leftrightarrow X = 0}$$ 그러므로 앞면이 나온 횟수인 `X` 는 아래와 같이 표본 공간 `S` 에서 실수 전체의 집합 `R` 로의 함수로 생각할 수 있다. 이 때 앞면이 나온 횟수인 `X` 를 확률 변수(Random Variable)라고 한다. 확률 변수(Random Variable) 표본 공간 `S`..

동치 관계와 부분 순서 관계 관계 `R` 이 어떤 성질을 갖느냐에 따라 관계에 의미를 부여하여 그 의미에 따라 관계의 순서쌍을 구성하는 원소들을 활용할 수 있다. 관계에 부여되는 의미에는 동치 관계나 부분 순서 관계가 있는데, 동치 관계의 경우 그 관계의 순서쌍을 구성하는 원소들이 같은 의미라는 것을 뜻하며, 부분 순서 관계의 경우는 그 관계의 순서쌍을 구성하는 원소들 사이에 순서가 존재한다는 것을 뜻한다. 동치 관계(Equivalence Relation) 반사 관계, 대칭 관계, 추이 관계가 모두 성립하는 관계 동치는 표현이 달라도 의미가 같아서 동등하게 사용할 수 있음을 의미한다. 예) 10진수 $7_{10}$ 과 2진수 $111_{2}$ 이 표현은 다르지만 같은 값으로 사용되므로 동치라고 할 수 있..

관계의 폐포 학번을 입력하면 학생의 이름을 비롯한 학생의 기타 정보를 검색할 수 있는 시스템이 있다고 하자. 하지만, 이 시스템은 등록된 전체 학생 중 재학생만 검색할 수 있다. 이 시스템에서 휴학생의 정보도 검색할 수 있으려면 휴학생의 학번과 정보도 추가해야할 것이다. 이처럼 자료 집합에 필요한 원소를 추가하여 특정 조건을 만족하도록 만드는 것을 관계의 폐포라고 한다. 관계의 폐포(Closure) 집합 `A` 에 대한 관계를 `R` 이라 하고 관계 `R` 이 가져야 하는 성질을 `P` 라고 할 때, 관계 `R` 을 포함하면서 성질 `P` 를 갖는 가장 작은 집합 `A` 에 대한 관계 `S` 성질 `P` 를 갖지 않는 관계 `R` 이 성질 `P`를 갖도록 순서쌍을 추가할 때는 반드시 필요한 최소한의 순서..

베이즈 정리 확률이 0이 아닌 사건들 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 이 어떤 사건 `B` 의 발생에 원인이 된다고 하자. 이 때, 주어진 사건 $A_{i}, \; i = 1, 2, \cdots, n$ 의 조건부 확률을 이용하여 사건 `B` 가 발생할 확률을 구할 수 있다. 또한 사건 `B` 가 발생했을 때, 사건 `B` 의 발생 요인들 중에서 어느 특정한 요인이 작용할 확률을 구할 수 있다. 전확률 공식(Formula of Total Probability) 확률이 0이 아닌 사건 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 을 표본 공간 `S` 의 분할이라 하면, 임의의 사건 `B` 의 확률은 다음과 같다. $$P(B) = \sum_{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A..

조건부 확률 어떤 제한된 조건 아래에서 확률을 계산해야 할 경우가 있다. 예) 내일 비가 오든지 그렇지 않든지 관계 없이 모레 비가 올 확률을 구하는 경우와 내일 비가 온다는 전제 조건 아래에서 모레 비가 올 확률은 다르게 나타난다. 조건부 확률의 정의 통계학 교과목을 수강하는 50명의 학생이 아래와 같이 구성되었을 때, 담당 교수가 이 학생들 중에서 임의로 선정한 학생이 2학년 남학생일 확률을 구한다고 하자. 구분 1학년 2학년 3학년 합계 남학생 22 6 3 32 여학생 13 4 2 16 합계 35 10 5 50 이 확률을 구하기 위해 선정된 학생이 남학생인 사건을 `A`, 선정된 학생이 2학년인 사건을 `B` 라고 하면 다음을 얻을 수있다. $$P(A) = \frac{32}{50}, \quad P(..

확률 확률의 의미 동전 하나를 던져서 앞면이 나올 가능성을 알아보자. 동전을 던져서 나올 수 있는 모든 경우는 앞면(`H`)과 뒷면(`T`) 뿐이다. 동전을 던지는 실험에서 표본 공간은 $S = \{ H, T \}$ 이고, 앞면이 나오는 사건은 $A = \{ H \}$ 로 나타낼 수 있다. 이 때, `H` 와 `T` 가 모두 같은 정도로 나온다고 가정하면 사건 `A` 가 일어날 가능성은 $\frac{1}{2}$ 라고 추측할 수 있다. 그리고 이러한 추측에는 동전이 공정하다는 전제 조건(앞면과 뒷면이 나올 가능성이 동등하다)이 필요하다. 그러면 사건 `A` 가 일어날 가능성인 숫자 $\frac{1}{2}$ 에 대해, 분모의 숫자 2는 표본 공간 안의 원소의 개수이고, 분자의 숫자 1은 사건 `A` 안에 있..

시행과 사건 동전 던지기나 주사위 던지기 등과 같은 어떤 통계적 실험을 실시할 때 나타날 수 있는 모든 경우에 대해, 특정한 실험 결과로 구성된 집합을 사건이라고 한다. 따라서 확률론에서 사용하는 용어인 사건은 집합의 개념과 동일하다. 시행(Trial) 동일한 조건 아래서 반복할 수 있으며, 그 결과가 우연에 의해 달라질 수 있는 실험 또는 관찰 동전을 던져서 앞면이 나오면 `H`, 뒷면이 나오면 `T`라고 할 때, 동전을 두 번 반복하여 던진다면 나올 수 있는 모든 경우는 $\{ HH, HT, TH, TT \}$ 뿐이다. 그리고 주사위를 한 번 던진다면 나올 수 있는 모든 경우는 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 뿐이다. 이와 같이 동일한 조건 아래에서 동전이나 주사위를 몇 번이고 반복하여 던질 수 있..

합성 관계 2개 이상의 관계를 이용해 새로운 관계를 만드는 것을 '관계를 합성한다'고 하고, 이렇게 만든 관계를 합성 관계라고 한다. 합성 관계(Composite Relation : $S \circ R$) 집합 `A` 에서 집합 `B` 로의 관계 `R` 과 집합 `B` 에서 집합 `C` 로의 관계 `S` 가 있을 때, 이 두 관계를 이용해 구하는 집합 `A` 에서 집합 `C` 로의 관계 $$S \circ R = \{(a, c) ∈ A \times C \; | \; a ∈ A, \; b ∈ B, \; c ∈ C, \; (a, b) ∈ R, \; (b, c) ∈ S \}$$ 합성 관계를 구하려면 둘 이상의 관계 사이에 공통으로 사용되는 자료 집합이 있어야 한다. 예 수강과목 담당교수 정보 학번 과목코드 교수..

관계의 성질 하나의 집합에 대한 관계의 경우, 순서쌍 원소의 구성에 따라 관계의 성질을 판별할 수 있다. 관계의 성질에는 반사, 비반사, 대칭, 반대칭, 추이 5가지가 있다. 반사 관계와 비반사 관계 반사 관계(Reflexive Relation) 집합 `A` 에 대한 관계 `R` 이 있을 때, 모든 $a ∈ A$ 에 대해 $(a, a) ∈ R$ 인 관계 ($Δ_{A} = \{ (a, a) \; | \; a ∈ A \}$) 비반사 관계(Irreflexive Relation) 집합 `A` 에 대한 관계 `R` 이 있을 때, 모든 $a ∈ A$ 에 대해 $(a, a) \not ∈ R$ 인 관계 집합 `A` 에 대한 관계 `R` 이 반사 관계이려면, 집합 `A` 에 포함되는 모든 원소 `a` 에 대해 자기 자신..

관계의 표현 관계는 일반적으로 순서쌍의 집합으로 표현하지만, 이 외에도 화살표 선도, 좌표 도표, 관계 행렬, 방향 그래프 등 여러 가지 방식으로 표현할 수 있다. 화살표 선도를 이용한 관계 표기 화살표 선도(Arrow Diagram) 집합 `A` 에서 집합 `B` 로 가는 관계 `R` 이 있을 때, 두 집합의 원소 간의 관계를 화살표로 나타낸 도표 화살표 선도에서 화살표의 방향은 관계에 포함되는 순서쌍의 앞에 오는 원소에서 시작하여 뒤에 오는 원소로 향하도록 한다. 역관계의 경우, 관계 `R` 의 화살표 선도와 화살표 방향이 반대이다. 좌표 도표를 이용한 관계 표기 좌표 도표(Coordinate Diagram) 집합 `A` 에서 집합 `B` 로 가는 관계 `R` 이 있을 때, 집합 `A` (정의역)의 ..