[이산 수학] 함수의 개념

함수의 개념

• 관계(Relation)는 두 집합의 원소들 사이의 대응을 정의한 것이다.
• 함수는 입력과 출력이 일대일로 대응하는 관계의 한 형태이다.

 

함수(Function : $f \; : \; A \rightarrow B$)

집합 `A` 에서 집합 `B` 로 가는 관계가 성립할 때, 집합 `A` 의 임의의 원소 `a` 에 대하여 집합 `B` 의 원소 `b` 하나가 대응되는 관계

 

함수 용어 정리 : 원상(Preimage), 상(Image), 정의역(Domain), 공역(Codomain), 치역(Range)

집합 `A` 에서 집합 `B` 로 가는 함수 $f \; : \; A \rightarrow B$ 에 대하여,
① 원상(Preimage) : 집합 `B` 의 원소 `b` 와 대응하는 집합 `A` 의 원소 `a`
② 상(Image) : 집합 `A` 의 원소 `a` 와 대응하는 집합 `B` 의 원소 `b`
③ 정의역(Domain) : 원상의 집합, 집합 `A` ($\it \text{dom}(f)$ = $D_{f}$)
④ 공역(Codomain) : 상이 포함된 집합, 집합 `B` ($\it \text{codom}(f)$)
⑤ 치역(Range) : 상의 집합, 집합 `B`의 부분 집합 ($\it \text{ran}(f) = \{f(a) \; | \; a \in A \} = R_{f} = \text{Imf} = f(A))$

원상과 상

 

관계와 함수의 차이

집합 `A` 에서 집합 `B` 로의 관계	집합 `A` 에서 집합 `B` 로의 함수
집합 `A`(정의역)의 어떤 원소는 집합 `B`(공역)의 원소와 전혀 대응하지 않거나 하나 이상의 원소와 대응할 수 있다.	집합 `A`(정의역)의 모든 원소는 집합 `B`(공역)의 원소 하나와 반드시 대응해야 한다.

• 집합 `A` 에서 집합 `B` 로의 함수 `f` 에서 입력 원소를 포함하는 집합 `A` 가 정의역이고, 출력 원소를 포함하는 집합 `B` 가 공역이다.
• 또한 집합 `B` 의 원소 중, 출력 원소만 모아 놓은 집합을 치역이라고 하며, 치역은 집합 `B` 의 부분 집합이다. (치역 ⊆ 공역)
• 여기까지는 관계(Relation)의 내용과 비슷하다.
• 하지만, 함수에서는 상과 원상이라는 개념이 추가된다.
  • 함수에서 입력으로 사용되는 정의역의 원소 하나하나를 원상이라고 하며, 원상에 대한 함수의 출력값인 치역의 원소 하나하나를 상이라고 한다.
  • 상은 원상 하나에 대해 반드시 하나만 존재할 수 있다. (일대일 대응)
  • 이는 함수와 관계를 구분하는 중요한 기준이다.

 

원상과 상의 관계

• 거울 앞에 어떤 사람이 섰을 때, 거울에는 그 사람의 모습이 비친다.
• 일반적으로 거울에 비친 모습을 '상' 이라고 한다.
• 상은 한 사람이 섰을 때는 한 사람의 모습만 비친다.
• 한 사람이 섰는데 거울에 두 사람 이상이 비치거나 아무것도 비치지 않는다면 매우 괴기한 일일 것이다.
• 함수의 원상과 상의 관계도 마찬가지이다.
• 반드시 하나의 원상에는 하나의 상이 대응되어야 한다.

 

예

• 집합 $A = \{a, b, c \}$ 에서 집합 $B = \{1, 2, 3 \}$ 로 가는 관계가 다음과 같다고 하자.

$$f_{1} = \{(a, 2), (b, 1), (c, 1) \} \\ f_{2} = \{(a, 2), (a, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3) \}$$

• 관계 $f_{1}$ 의 경우, 정의역인 집합 `A` 의 모든 원소가 집합 `B` 의 하나의 원소와 대응하고 있다.
• 관계 `f_{1}` 에 포함된 각 순서쌍에 대한 식은 다음과 같다.

순서쌍에 대한 식 표현	원상	상
$f_{1}(a) = 2$	`a`	`2`
$f_{1}(b) = 1$	`b`	`1`
$f_{1}(c) = 1$	`c`	`1`

• 원상은 관계 `f_{1}` 의 정의역인 집합 `A` 의 원소이고, 상은 `f_{1}` 의 공역인 집합 `B` 의 원소이다.
• 집합 `A` 의 모든 원소가 원상으로 사용되며, 각 원상은 오직 하나의 상과 대응한다.
• 그러므로 관계 `f_{1}` 은 함수이다.
• 여기서 원상 `b` 와 `c` 가 같은 상 `1` 과 대응하거나 공역인 집합 `B` 의 원소 중 `3` 이 어떤 원상과도 대응하지 않는다는 점은 중요하지 않다.
• 정의역의 모든 원소가 원상이 되어 공역의 원소 중 단 하나의 원소와 대응하면 함수라고 판단하면 된다.
• 함수 `f_{1}` 의 정의역, 공역, 치역은 다음과 같다.

$$\text{dom}(f_{1}) = A, \quad \text{codom}(f_{1}) = B, \quad \text{ran}(f_{1}) = \{ 1, 2 \}$$

• 이 내용을 바탕으로 관계 `f_{2}` 를 살펴보면, 다음 두 가지 이유로 관계 `f_{2}` 는 함수가 아니다.

(1) 관계 `f_{2}` 의 정의역인 집합 `A` 의 원소 중, `b` 와 대응하는 공역 원소를 갖지 않는다. (2) 관계 `f_{2}` 의 정의역인 집합 `A` 의 원소 중, `a` 와 `c` 는 모두 2개 이상의 공역 원소와 대응한다.

• 위 두 가지 이유는 어떤 관계가 함수가 되지 못하는 주요한 이유이기도 하다.