Per ardua ad astra.

집합의 종류 집합은 구성되는 원소의 개수나 집합 간의 포함 관계에 따라 명칭이 정의된다. 전체 집합(Universal Set : $U$ ) 논의 대상이 되는 원소 전체를 포함하는 집합 전체 집합은 논의 대상에 따라 달라질 수 있으므로, 주어지는 문제에 따라 달라질 수 있다. 예) 집합 $A = \{ a \; | \; a > 13, \; a ∈ \mathbb{N} \}$ 가 주어질 때, 문제에 따라 집합 `A` 에 대한 전체 집합은 자연수 집합 $\mathbb{N}$ 이 될 수 있고, 집합 `A` 자체가 될 수 있다. 그러므로 전체 집합에 대한 판단은 문제에 따라 달라진다. 공집합(Empty Set : $\varnothing$ ) 원소를 하나도 포함하지 않는 집합으로 기수가 0인 집합 ($|\varnoth..

집합의 개념 컴퓨터가 활용하려는 데이터들은 정리되어 있지 않으면 효용 가치가 없다. 그렇기 때문에 컴퓨터에서 데이터를 효율적이고 효과적으로 활용하기 위해서는 기준에 따라 데이터를 정리하여 관리할 필요가 있다. 이 때 필요한 개념이 집합이다. 집합(Set : $A, B, C, \cdots$) 명확한 기준에 따라 공통 성질을 가지며 중복되지 않는 원소(Element, Member)의 모임 ① 유한 집합(Finite Set) : 집합을 구성하는 원소의 개수가 유한개인 집합 ② 무한 집합(Infinite Set) : 집합을 구성하는 원소의 개수가 무한히 많은 집합 집합은 공통 성질을 가지며, 중복되지 않는 원소로 구성된다. 그러므로 집합에 포함되는 원소들을 구분할 수 있는 명확한 기준이 있어야 하는데, 이 기준..

행렬과 연립 일차 방정식 행렬은 연립 일차 방정식을 풀기 위한 방법을 연구하면서 나온 개념이다. 일차 방정식(Linear Equation) / 선형 방정식 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b$ 가 실수일 때, 다음과 같이 표현되는 식 $$a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + \cdots + a_{n}x_{n} = b \quad (a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} : \text{계수}, \; b : \text{상수}, \; x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} : \text{변수})$$ 문제를 해결하기 위한 어떤 식이 한 개 이상의 변수를 포함할 때 이 식을 방정식(Equation)이라고 하며, 포함하는 변수의 차수가 1일 때 이를 일차 방정식 또..

역행렬 어떤 수의 곱셈에 대한 역원은 그 수와 곱했을 때 항등원이 나오는 수로, `a ≠ 0` 인 실수 `a` 의 곱셈에 대한 항등원은 `1` 이고, `a` 의 역원은 $\frac{1}{a}\left( a × \frac{1}{a} = 1 \right)$ 이다. 행렬에서도 항등원과 역원의 역할을 수행하는 행렬이 있는데, 항등원인 행렬은 단위 행렬 `I` 이고, 역원인 행렬은 역행렬이다. 역행렬(Inverse Matrix : $A^{-1}$) 정사각 행렬 `A` 에 대하여, `AB = BA = I` 를 만족하는 행렬 `B` $$AA^{-1} = A^{-1}A = I$$ 일반적으로 행렬의 곱셈은 교환 법칙이 성립하지 않지만, 행렬 `A` 와 행렬의 역행렬 `A^{-1}` 를 곱한 $AA^{-1}$ 와 $A^{..

행렬의 연산 행렬에서 가능한 연산은 덧셈, 뺄셈, 스칼라곱, 곱셈이 있다. 행렬의 덧셈과 뺄셈 행렬의 덧셈과 뺄셈이 가능하려면 두 행렬의 크기가 같아야 한다. 행렬의 크기가 `m × n` 인 두 행렬 `A, B` 에서 같은 위치에 있는 원소끼리 더하거나 빼는 연산 $A = [a_{ij}] = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}, \quad B = [b_{ij}] = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cd..

행렬의 개념 행렬은 다수의 동일한 타입의 데이터들에 동일한 연산을 수행하기에 적합하다. 행렬(Matrix : $A = [a_{ij}]$) 하나 이상의 원소를 1차원 또는 2차원의 형태로 나열한 배열 `m` 행 `n` 열로 나열한 실수의 2차원 배열 ($m > 0, \; n > 0$) $$A = [a_{ij}] = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \quad (1 ≤ i ≤ m, \; 1 ≤ j ≤ n)$$ - `a_{ij}` : ..

위치 척도와 상자 그림 두 집단의 평균의 차이가 극심한 경우에는 표준 편차보다 상대적인 척도인 변동 계수를 사용한다. 그러나 두 집단의 평균을 일치시키고, 절대적인 수치로 주어진 자료값을 상대적인 위치로 변환할 수 있다. 중앙값은 가장 중앙에 놓이는 자료값이므로 자료값을 크기 순으로 나열하여 50% 위치에 놓이게 된다. 이 때 수집한 자료를 크기 순서로 나열하여 백등분하는 위치 또는 사등분하는 위치를 나타내는 백분위수와 사분위수를 구할 수 있다. 사분위수를 이용하면 특이값의 존재 여부를 명확하게 알 수 있다. `z`-점수(`z`-Score) ; 표준 점수(Standardized Score) 각 자료의 측정값과 평균과의 편차를 표준 편차로 나눈 수치 자료 집단을 구성하는 개개의 자료값을 평균을 중심으로 한..

수학적 귀납법 첫 번째 단계가 성립하고 `n` 번째 단계가 성립한다고 가정했을 때, `n + 1` 번째 단계로 성립함을 보이는 방식의 증명 방법을 수학적 귀납법이라고 한다. 수학적 귀납법은 0보다 크거나 같은 정수의 범위에서 발생하는 일정한 규칙을 증명하는 데 유용하다. 수학적 귀납법(Mathematical Induction) 0보다 크거나 같은 정수 범위에서 발생하는 일정한 규칙을 나타내는 명제 `P(n)` 이 성립함을 증명하는 방법 수학적 귀납법은 다음 세 단계로 증명한다. ① 기본 가정 : 명제의 논의 영역 `D` 의 첫 번째 값 `d` 에 대하여, `P(d)` 가 참(T)임을 보인다. ② 귀납 가정 : 논의 영역에 속하는 임의의 값 `k` 에 대하여, `P(k)` 가 참(T)이라고 가정한다. ③ ..

간접 증명법 간접 증명법은 증명해야 하는 명제를 변형하여 증명하는 방법으로, 모순 증명법, 대우 증명법 그리고 존재/반례 증명법이 있다. 모순 증명법 : 증명해야 하는 조건 명제에서 결론에 해당하는 명제를 부정하여 증명하는 방법 대우 증명법 : 증명해야 하는 조건 명제를 대우 명제로 변형하여 증명하는 방법 존재/반례 증명법 : 명제를 참(T)으로 만드는 원소가 있는지, 혹은 명제를 거짓(F)으로 만드는 원소가 있는지를 판단하여 증명하는 방법 모순 증명법(Proof by Contradiction) 조건 명제 `p → q` 와 $\neg (p \land \neg q)$ 가 동치임을 이용해, $p \land \neg q$ 가 거짓(F)임을 보임으로써 증명하는 방법 $\neg (p \land \neg q)$ $..

직접 증명법 직접 증명법은 주어진 명제를 변형하거나 예를 구하는 것이 아니라, 공리, 정의, 정리 등을 이용하여 주어진 그대로 증명하는 방식이다. 직접 증명법(Direct Proof) 조건 명제 `p → q` 가 참(T)임을 증명하기 위해 전제 `p` 를 참(T)으로 가정했을 때, 결론 `q` 도 참(T)임을 증명하는 방법 예 : '두 홀수 `m` 과 `n` 의 곱은 홀수이다.' 를 직접 증명법으로 증명하기 '두 홀수 `m` 과 `n` 의 곱은 홀수이다' 라는 명제를 조건 명제의 형태로 나타내면 다음과 같다. `p → q` : 두 정수 `m, n` 이 홀수이면, `m` 과 `n` 의 곱은 홀수이다. `p` : 두 정수 `m, n` 은 홀수이다. `q` : `m` 과 `n` 의 곱은 홀수이다. 홀수 `m`..

증명의 이해 증명은 어떤 사실이 참(T)임을 보이는 것으로서 증명에 사용되는 모든 내용들이 타당해야만 정당한 증명이 된다. 증명(Proof) 하나의 명제가 참(T) 임을 확인하는 과정 증명의 과정에는 추론 방식이 적용된다. 추론 : 참(T)으로 판별된 전제를 이용하여 결론이 참(T) 또는 거짓(F)임을 판별하는 과정 그러므로 증명 과정에서도 참(T)인 전제를 사용해야 하며, 이 전제를 이용하여 주어진 명제가 참(T)임을 보여야 한다. 증명에서 사용되는 전제로는 공리, 정의, 정리가 있다. 공리(Axiom) 별도의 증명 없이도 항상 참(T)이라고 판단하는 명제 다음 명제들은 공리의 대표적인 예이다. 명제 `p` 가 참(T)이면, 명제 $p \lor q$ 도 참(T)이다. 두 점이 주어질 때, 그 두 점을 ..

추론 컴퓨터 시스템으로 구현한 것 중, 인간의 학습, 추론, 지각 등의 능력을 구현한 것이 인공지능(AI)인데, 인공지능은 이미 참(T)으로 판별된 명제와 반박할 수 없는 논리 규칙을 이용하여 새로운 참(T)인 명제를 정보로 획득하는 방식으로 지능을 높인다. 이처럼 참(T)인 명제와 논리 규칙을 이용하여 또 다른 참(T)인 명제를 유도해나가는 과정을 추론이라고 한다. 추론의 개념 추론(Inference) / 논증(Reasoning) 참(T)인 명제를 근거로 하여 다른 명제가 참(T)임을 유도하는 과정 또는 방식 전제(Hypothesis)와 결론(Conclusion) 추론에서 사용하는 명제는 추론의 근거로 사용하는 명제와 결론으로 나오는 명제로 구성된다. ① 전제(Hypothesis) : 결론의 근거가 되..

명제 함수와 한정자 명제의 정의에 따라 식 `x > 10` 은 `x` 값이 정해지지 않았으므로 진릿값을 판별할 수 없어 명제가 아니다. 그러나 `x` 의 값이나 범위가 주어진다면 진릿값을 판별할 수 있으므로 명제가 될 수 있다. 이와 같이 범위가 주어진 변수를 포함하는 명제를 명제 함수라 하고, 주어진 범위를 논의 영역이라고 한다. 명제 함수(Propositional Function : $P(x)$) 논의 영역이 주어진 변수 `x` 를 포함하여 진릿값을 판별할 수 있는 문장이나 수식 논의 영역(Domain of Discource : $D$) 명제 함수에 포함된 변수 `x` 의 범위나 값 명제 함수는 일반적으로 `P, Q, R, \codts` 과 같은 대문자와 명제 함수에 포함된 변수를 함께 표시한다. 명..

적분법 적분은 미분의 역산으로, 연속 확률 변수에 대한 확률을 계산할 때 사용한다. 또한, 연속 확률 변수의 확률 밀도 함수를 적분하여 분포 함수를 얻으므로, 적분의 개념은 확률에서 매우 중요하다. 부정 적분(Indefinite Integral) 연속 함수 `f(x)` 가 주어졌을 때, 이 함수를 도함수로 가지는 함수 `F(x)` 가 존재하면, 함수 `F(x)` 를 `f(x)` 의 부정 적분(Indefinite Integral) 또는 원시 함수(Primitive Function)라 한다. 원시 함수와 도함수 사이에는 다음 관계가 성립한다. $$F'(x) = f(x)$$ 이때 `F(x)` 를 다음과 같이 나타내며, 기호 $\int$ 를 적분 기호(Symbol of Integral), `f(x)` 를 피 적..

논리적 동치 합성 명제는 하나 이상의 단순 명제를 논리 연산자로 결합한 형태이므로 복잡한 형태일 수도 있다. 합성 명제가 복잡하다는 것은 컴퓨터 시스템에서 표현하고 연산해야 하는 논리 연산의 수가 많음을 의미한다. 이렇게 많은 논리 연산으로 복잡하게 표현된 합성 명제를 진릿값이 같으면서 단순한 논리 연산으로 표현된 합성 명제로 대체한다면, 컴퓨터 시스템에서도 같은 결과를 내면서 간단하고 빠르게 표현하고 연산할 수 있을 것이다. 논리적 동치(Logically Equivalence : $P ≡ Q$) 두 합성 명제 `P` 와 `Q` 의 진릿값이 서로 같은 경우 두 합성 명제 `P, Q` 에 대하여 `P ≡ Q` 일 때 '합성 명제 `P` 와 `Q` 는 동치이다' 또는 '합성 명제 `P` 와 `Q` 는 같다'..

합성 명제 논리 연산자의 우선 순위 합성 명제는 하나 이상의 단순 명제를 논리 연산자로 결합한 명제를 말한다. 합성 명제의 진릿값은 각 단순 명제의 진릿값에 따라 달라지지만, 논리 연산자의 연산 순서 또한 진릿값을 결정하는 데 영향을 미친다. 우선순위 논리 연산자 1 $\neg$ 2 $\land$ 3 $\lor$ 4 $→$ 5 $↔$ 합성 명제에서 괄호로 묶은 연산은 먼저 해야 한다. 예) $(\neg p \lor q) \land r$ $\lor$ 가 $\land$ 보다 우선 순위가 낮지만, $\lor$ 는 괄호 안의 연산이므로 $\neg p$ 와 `q` 를 $\lor$ 연산한 후 `r` 과 $\land$ 연산한다. 그러므로 합성 명제 $(\neg p \lor q) \land r$ 과 $\neg p \l..

조건 명제 앞 글에서 합성 명제를 구성하는 단순 명제에 대해 어떤 역할을 부여하지 않았다. 그러나 단순 명제에 역할을 부여해 그 단순 명제의 역할이 무엇이냐에 따라 진릿값이 결정되는 합성 명제가 있는데, 조건 명제가 이에 해당한다. 조건 명제(Conditional Proposition : $p → q$) / 함축(Implication) 명제 `p, q` 에 대하여, 명제 `p` 가 전제(Premise) 또는 가정(Hypothesis)이고 명제 `q` 가 결론(Conclusion) 또는 결과(Consequence)인 명제 '지구의 자전축이 기울어져 있다면, 지구의 계절은 바뀐다'는 '지구의 자전축이 기울어져 있다(`p`)'와 `지구의 계절은 바뀐다.(`q`)' 라는 두 명제를 결합한 합성 명제이다. `p`..

논리 연산자 일반적으로 명제 하나를 단순 명제(Simple Proposition)라고 한다. 하나 이상의 단순 명제를 부정, 논리곱, 논리합, 베타적 논리합과 같은 논리 연산자로 결합하면 새로운 하나의 명제가 되기도 하는데, 이를 합성 명제(Compound Proposition)라고 한다. 합성 명제(Compound Proposition) 하나 이상의 명제들이 논리 연산자에 의해 결합된 명제 합성 명제를 구성하는 단순 명제의 진릿값과 논리 연산자에 따라 합성 명제의 진릿값은 달라진다. 그러므로 합성 명제의 진릿값을 판별하기 위해 진리표(Truth Table)를 사용한다. 진리표(Truth Table) 합성 명제를 구성하는 단순 명제의 진릿값에 따른 논리 연산 결과를 나타낸 표 ① 부정(NOT : $\ne..

명제 현실 세계를 간략하고 정확하게 판별하도록 표현한 문장 수학적 논리를 구성하는 가장 기본적인 단위 명제는 누구나 객관적으로 참(T)과 거짓(F)을 구분할 수 있어야 한다. 진릿값(Truth Value) 참(True : T)이나 거짓(False : F)을 가리키는 값 명제(Proposition) 객관적인 기준으로 진릿값을 구분할 수 있는 문장이나 수식 일반적으로 명제는 영문 소문자 $p, \;q, \;r, \;\cdots$ 로 표현 명제는 객관적으로 참(T)과 거짓(F)을 구분할 수 있는 문자이어야 한다. 명제가 아닌 예 '짜장면은 맛있다.' 와 같은 문장은 주관적 판단에 따라 답이 달라질 수 있는 문장이다. `x + 1 = 2` 와 같은 식은 미지수 `x` 값에 따라 참(T)과 거짓(F)이 달라질 수..

함수의 극한과 연속 함수의 극한(Limit)은 도함수를 정의하기 위한 기초 도구로 사용된다. 함수의 연속성은 연속 확률 변수와 확률 분포에서 매우 중요한 역할을 담당한다. 함수의 극한 함수 `y = f(x)` 에 대해 변수 `x` 가 실수 `1` 에 한없이 가까워질 때, 함숫값 `f(x)` 가 어떻게 변하는지 살펴보자. 함수 `f(x) = x + 1` 은 `x = 1` 에서 함숫값 `f(1) = 2` 가 존재한다. 변수 `x` 가 실수 `1` 에 가까워질수록 직선 위의 점은 점 `(1, 2)` 에 가까워진다. 따라서 함숫값 `f(x)` 는 `2` 에 가까워지는 것을 알 수 있다. 한편, 함수 $g(x) = \frac{x^{2}-1}{x-1}$ 은 `x = 1` 에서 함숫값 `g(1)` 이 존재하지 않는다..

컴퓨터에서의 수의 표현과 연산 컴퓨터에서의 연산은 2진수 표현만으로는 덧셈과 곱셈 연산만 가능하다. 컴퓨터는 기본적인 2진수 표현에 대한 보수(Complement) 표현으로 바꿔서 뺄셈과 나눗셈 연산을 수행한다. 보수(Complement) 보충해주는 수 어떤 수 `a` 에 대한 `n` 의 보수는 `a` 와의 합이 `n` 이 되는 수 기수가 `n` 인 어떤 수 `a` 에 대한 `n` 의 보수는 `n` 으로부터 `a` 까지 떨어진 거리라고도 할 수 있다. `n` 진수에서의 보수는 `n` 의 보수와 `n - 1` 의 보수가 존재한다. 10진수에는 10의 보수와 9의 보수가 존재하고, 5진수에는 5의 보수와 4의 보수가 존재하는 것처럼, 2진수를 사용하는 컴퓨터에서는 2의 보수와 1의 보수가 존재한다. 1의 보..

진법별 사칙연산 올림수와 빌림수 진법별로 덧셈에서 올림수가 발생하는 경우나, 뺄셈에서의 빌림수가 다를 뿐, 기본적으로 사칙연산의 원리는 진법에 상관 없이 같다. 10진수, 2진수, 8진수, 16진수는 각각 두 수의 합이 10, 2, 8, 16 이상이면 올림수가 발생한다. 10진수, 2진수, 8진수, 16진수의 뺄셈의 빌림수는 각각 10, 2, 8, 16이다. 올림수(Carry Digit) 덧셈에서 두 수의 덧셈 결과가 10(10진수), 2(2진수), 8(8진수), 16(16진수) 이상일 때 상위에 올리는 수 1이 올림수에 해당된다. 빌림수(Borrow Digit) 뺄셈 피연산자1 - 피연산자2 에서 피연산자1 < 피연산자2 일 때 하위에 빌려주는 수 10(10진수), 2(2진수), 8(8진수), 16(1..

진법 간 변환 사람이 사용하는 수로 컴퓨터에 데이터를 입력하거나 연산을 요구하면, 컴퓨터는 자신이 사용하는 2진수로 변환하여 처리하며, 데이터가 방대해짐에 따라 8진수나 16진수로 표현하기도 한다. 10진수와 2진수는 어떤 진법으로든 변환이 가능하지만, 8진수와 16진수는 서로 직접 변환이 불가능하다. 그러므로 8진수를 16진수로, 또는 16진수를 8진수로 변환하기 위해서는 먼저 10진수나 2진수로 변환한 후에 8진수나 16진수로 변환해야 한다. [1] 10진수 → 2진수 / 8진수 / 16진수 10진 실수를 2진수, 8진수 또는 16진수로 변환할 때는 정수부와 소수부를 변환하는 방법이 다르다. 정수부 구하기 몫이 0이 될 때까지 변환하려는 기수로 나누면서 각 단계마다 나오는 나머지를 나열하는 방식으로 ..

진법별 표현 몇 개의 숫자를 이용하여 수를 표현하느냐에 따라 진법이 결정된다. `n` 진법과 `n` 진수 `0` 부터 `n - 1` 까지의 숫자로 수를 표현하는 방법과 그렇게 표현한 수 현재 사용하고 있는 진법의 표기를 기수(Base)라고 한다. 만약 `n` 진법을 사용하고 있다면 기수는 `n` 으로, 표현한 수의 오른쪽 끝에 아래 첨자로 표기한다. 예) $1365_{10}$ (10진수) 10진수는 기수를 생략하여 $1365$ 로만 작성할 수 있다. 예) $1365_{8}$ (8진수) 기수에 따라 읽는 방법도 다르다. 10진수는 천, 백, 십, 일 단위를 붙여 읽는다. $1365_{10}$ : 천삼백육십오 2진수, 8진수, 16진수는 숫자를 하나씩 순서대로 읽는다. $1101_{2}$ : 2진수 일일공일..

수의 연산 연산의 성질 수를 연산한 결과는 수의 체계와 연산자의 종류에 따라 결정된다. 연산에 피연산자로 사용한 수, 그리고 연산 결과로 나오는 수의 체계와 관계는 닫힘 성질로 정의할 수 있다. 닫힘 성질 수 체계 `S` 에 속하는 어떤 수 `a, b` 를 연산자 `O` 로 연산한 결과가 `S` 에 속하면 '수 체계 `S` 는 연산자 `O` 에 대해 닫혀 있다(Closed)'고 하고, 그렇지 않으면 '수 체계 `S` 는 연산자 `O` 에 대해 닫혀 있지 않다'고 한다. 수 체계별 사칙 연산의 닫힘 성질 유리수와 무리수의 닫힘 성질은 정반대이다. 무리수의 닫힘 성질 증명 예 덧셈 : $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ 뺄셈 : $\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$ 곱셈 : $\sq..

문제 위의 그림과 같이 육각형으로 이루어진 벌집이 있다. 그림에서 보는 바와 같이 중앙의 방 1부터 시작해서 이웃하는 방에 돌아가면서 1씩 증가하는 번호를 주소로 매길 수 있다. 숫자 N이 주어졌을 때, 벌집의 중앙 1에서 N번 방까지 최소 개수의 방을 지나서 갈 때 몇 개의 방을 지나가는지(시작과 끝을 포함하여)를 계산하는 프로그램을 작성하시오. 예를 들면, 13까지는 3개, 58까지는 5개를 지난다. 입력 첫째 줄에 N(1 ≤ N ≤ 1,000,000,000)이 주어진다. 출력 입력으로 주어진 방까지 최소 개수의 방을 지나서 갈 때 몇 개의 방을 지나는지 출력한다. 예제 입력 1 13 예제 출력 1 3 출처 ICPC > Regionals > Asia Pacific > Korea > Nationwide..

문제 월드전자는 노트북을 제조하고 판매하는 회사이다. 노트북 판매 대수에 상관없이 매년 임대료, 재산세, 보험료, 급여 등 A만원의 고정 비용이 들며, 한 대의 노트북을 생산하는 데에는 재료비와 인건비 등 총 B만원의 가변 비용이 든다고 한다. 예를 들어 A=1,000, B=70이라고 하자. 이 경우 노트북을 한 대 생산하는 데는 총 1,070만원이 들며, 열 대 생산하는 데는 총 1,700만원이 든다. 노트북 가격이 C만원으로 책정되었다고 한다. 일반적으로 생산 대수를 늘려 가다 보면 어느 순간 총 수입(판매비용)이 총 비용(=고정비용+가변비용)보다 많아지게 된다. 최초로 총 수입이 총 비용보다 많아져 이익이 발생하는 지점을 손익분기점(BREAK-EVEN POINT)이라고 한다. A, B, C가 주어졌..