[이산 수학] 집합의 개념

집합의 개념

• 컴퓨터가 활용하려는 데이터들은 정리되어 있지 않으면 효용 가치가 없다.
• 그렇기 때문에 컴퓨터에서 데이터를 효율적이고 효과적으로 활용하기 위해서는 기준에 따라 데이터를 정리하여 관리할 필요가 있다.
• 이 때 필요한 개념이 집합이다.

 

집합(Set : $A, B, C, \cdots$)

명확한 기준에 따라 공통 성질을 가지며 중복되지 않는 원소(Element, Member)의 모임
① 유한 집합(Finite Set) : 집합을 구성하는 원소의 개수가 유한개인 집합
② 무한 집합(Infinite Set) : 집합을 구성하는 원소의 개수가 무한히 많은 집합

• 집합은 공통 성질을 가지며, 중복되지 않는 원소로 구성된다.
• 그러므로 집합에 포함되는 원소들을 구분할 수 있는 명확한 기준이 있어야 하는데, 이 기준을 표현하는 방식에 따라 다양하게 집합을 표기할 수 있다.
• 집합의 명확한 표기는 집합에 포함된 원소 개수 및 집합이나 원소 간의 포함 관계를 파악할 수 있는 좋은 정보가 된다.

 

집합의 표기 방식

① 원소 나열법(Tabular Form) : 집합에 포함되는 원소들을 일일이 나열하는 방법
예) $A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$

② 조건 제시법(Set-Builder Form) : 집합에 포함되는 원소들의 공통 성질을 조건식으로 제시하는 방법
예) $A = \{ x \; | \; 0 < x ≤ 7, \; x ∈ \mathbb{R} \}$

③ 벤 다이어그램(Venn Diagram) : 집합과 원소 또는 집합과 집합의 포함 관계를 그림으로 보여주는 방법
예)

• 일반적으로 원소 나열법은 유한 집합에 대해 주로 사용하는 표기법이지만, 무한 집합에 대해서도 원소 간의 일정한 규칙을 예상할 수 있다면 말줄임표($\cdots$)를 이용하여 표현할 수도 있다.
• 조건 제시법은 원소 간의 공통점이나 규칙이 있는 경우, 그 내용으로 집합을 표기하는 것이다.
  • 일반적으로 '$|$' 기호를 기준으로 왼쪽에는 원소를 대표하는 변수를, 오른쪽에는 원소들의 공통점이나 규칙에 대한 식 또는 설명을 작성한다.
• 벤 다이어그램은 원이나 사각형을 이용해 집합과 집합, 집합과 원소 사이의 포함 관계를 표현하는 것이다.

 

• 집합은 원소의 모음이므로, 집합 내의 원소 개수는 집합의 특징을 결정하거나 집합에 관한 연산에 영향을 줄 수 있다.

 

기수(Cardinality : $|A|$ )

집합 $A$ 에 포함되는 원소의 개수

• 유한 집합의 기수는 항상 0 보다 크거나 같은 정수 값이지만, 무한 집합의 기수는 원소 개수를 셀 수 없으므로 무한대($∞$)로 표기한다.

 

예제 : 다음 집합의 기수를 구하고, 유한 집합인지 무한 집합인지 구분하라.

(1) $A = \{ x | -4 ≤ x ≤ 4, \; x ∈ \mathbb{Z} \}$

(2) $B = \{ y | -4 ≤ y ≤ 4, \; y ∈ \mathbb{Q} \}$

(c) $C = \{ z | z^{3} = 2, \; z ∈ \mathbb{Z} \}$

 

(a)

집합 `A` 를 원소 나열법으로 표기하면 $A = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ 로 원소 개수는 9개이다. 

∴ $|A| = 9$, 유한 집합

 

(b)

집합 `B` 에 포함되는 원소는 -4 보다 크거나 같고 4보다 작거나 같은 유리수이다. 그러므로 집합 `B` 의 원소 개수는 무한대이다.

∴ $|B| = ∞$, 무한 집합

 

(c)

$z^{3} = 2$ 를 만족하는 정수 `z` 는 없으므로 집합 `C` 를 구성하는 원소 개수는 0이다.

∴ $|C| = 0$, 유한 집합

 

집합에 대한 원소의 포함 관계

(a) 원소 `a` 가 집합 `A` 의 원소이다 : $a ∈ A$
(b) 원소 `a` 가 집합 `A` 의 원소가 아니다 : $a \not∈ A$

• 집합을 구성하는 원소들은 공통된 특징을 갖는다.
  • 그러므로 어떤 원소가 특정 집합에 포함되는지 아닌지를 파악해야 집합의 정의가 명확해진다.