[이산 수학] 진법별 표현

진법별 표현

• 몇 개의 숫자를 이용하여 수를 표현하느냐에 따라 진법이 결정된다.

 

`n` 진법과 `n` 진수

`0` 부터 `n - 1` 까지의 숫자로 수를 표현하는 방법과 그렇게 표현한 수

 

• 현재 사용하고 있는 진법의 표기를 기수(Base)라고 한다.
• 만약 `n` 진법을 사용하고 있다면 기수는 `n` 으로, 표현한 수의 오른쪽 끝에 아래 첨자로 표기한다.
  • 예) $1365_{10}$ (10진수)
    • 10진수는 기수를 생략하여 $1365$ 로만 작성할 수 있다.
  • 예) $1365_{8}$ (8진수)
• 기수에 따라 읽는 방법도 다르다.
  • 10진수는 천, 백, 십, 일 단위를 붙여 읽는다.
    • $1365_{10}$ : 천삼백육십오
  • 2진수, 8진수, 16진수는 숫자를 하나씩 순서대로 읽는다.
    • $1101_{2}$ : 2진수 일일공일
    • $1365_{8}$ : 8진수 일삼육오
    • $1A2F_{16}$ : 16진수 일에이이에프
• 컴퓨터의 발전으로 인해 컴퓨터에서 표현하고 연산해야 하는 데이터 종류가 다양해지고, 그에 따라 데이터의 크기도 커지면서 2진법만을 이용하여 모든 데이터를 표현하기에는 표현 길이가 너무 길어졌다.
  • 그래서 컴퓨터에서는 길어진 데이터 표현을 간략하게 만들어 효율적으로 활용하기 위해 8진수와 16진수를 사용하게 되었다.

 

10진법(Decimal Number System)과 10진수(Decimal Number)

• 기수를 10으로 하여 0부터 9까지의 숫자로 수를 표현하는 방법과 그렇게 표현한 수

(a) $n_{10}  ∈ \mathbb{Z} \; (k > 0, \; 0 ≤ a_{i} ≤ 9)$ 일 때,
$n_{10} = a_{k}a_{k-1} … a_{1}a_{0} = a_{k}10^{k} + a_{k-1}10^{k-1} + … + a_{1}10^{1} + a_{0}10^{0} \quad (k : \text{자릿수})$

(b) $n_{10}  ∈ \mathbb{R} \; (k, l > 0, \; 0 ≤ a_{i} ≤ 9)$ 일 때,
$n_{10} = a_{k}a_{k-1} … a_{1}a_{0} · a_{-1}a_{-2} … a_{-l}a_{-(l+1)} …$
$= a_{k}10^{k} + a_{k-1}10^{k-1} + … + a_{1}10^{1} + a_{0}10^{0} + a_{-1}10^{-1} + a_{-2}10^{-2} + … + a_{-l}10^{-l} + a_{-(l+1)}10^{-(l+1)} + … \;\; (k : \text{자릿수})$

 

예제 : 10진수를 기수와 지릿수를 이용하여 풀어 쓰기

 

$1582.12_{10} = 1 × 10^{3} + 5 × 10^{2} + 8 × 10^{1} + 2 × 10^{0} + 1 × 10^{-1} + 2 × 10^{-2}$

 

2진법(Binary Number System)과 2진수(Binary Number)

• 기수를 2로 하여 0과 1만으로 수를 표현하는 방법과 그렇게 표현한 수

(a) $n_{2}  ∈ \mathbb{Z} \; (k > 0, \; a_{i} = 1 \; \text{또는} \; 0)$ 일 때,
$n_{2} = a_{k}a_{k-1} … a_{1}a_{0} = a_{k}2^{k} + a_{k-1}2^{k-1} + … + a_{1}2^{1} + a_{0}2^{0} \quad (k : \text{자릿수})$

(b) $n_{2}  ∈ \mathbb{R} \; (k, l > 0, \; a_{i} = 1 \; \text{또는} \; 0)$ 일 때,
$n_{2} = a_{k}a_{k-1} … a_{1}a_{0} · a_{-1}a_{-2} … a_{-l}a_{-(l+1)} …$
$= a_{k}2^{k} + a_{k-1}2^{k-1} + … + a_{1}2^{1} + a_{0}2^{0} + a_{-1}2^{-1} + a_{-2}2^{-2} + … + a_{-l}2^{-l} + a_{-(l+1)}2^{-(l+1)} + … \;\; (k : \text{자릿수})$

 

예제 : 2진수를 기수와 지릿수를 이용하여 풀어 쓰기

 

$101.001101_{2} = 1 × 2^{2} + 0 × 2^{1} + 1 × 2^{0} + 0 × 2^{-1} + 0 × 2^{-2} + 1 × 2^{-3} + 1 × 2^{-4} + 0 × 2^{-5} + 1 × 2^{-6}$

 

8진법(Octal Number System)과 8진수(Octal Number)

• 기수를 8로 하여 0부터 7까지의 숫자로 수를 표현하는 방법과 그렇게 표현한 수

(a) $n_{8}  ∈ \mathbb{Z} \; (k > 0, \; 0 ≤ a_{i} ≤ 7)$ 일 때,
$n_{8} = a_{k}a_{k-1} … a_{1}a_{0} = a_{k}8^{k} + a_{k-1}8^{k-1} + … + a_{1}8^{1} + a_{0}8^{0} \quad (k : \text{자릿수})$

(b) $n_{8}  ∈ \mathbb{R} \; (k, l > 0, \; 0 ≤ a_{i} ≤ 7)$ 일 때,
$n_{8} = a_{k}a_{k-1} … a_{1}a_{0} · a_{-1}a_{-2} … a_{-l}a_{-(l+1)} …$
$= a_{k}8^{k} + a_{k-1}8^{k-1} + … + a_{1}8^{1} + a_{0}8^{0} + a_{-1}8^{-1} + a_{-2}8^{-2} + … + a_{-l}8^{-l} + a_{-(l+1)}8^{-(l+1)} + … \;\; (k : \text{자릿수})$

 

예제 : 8진수를 기수와 지릿수를 이용하여 풀어 쓰기

 

$712.36_{8} = 7 × 8^{2} + 1 × 8^{1} + 2 × 8^{0} + 3 × 8^{-1} + 6 × 8^{-2}$

 

 

16진법(Hexadecimal Number System)과 16진수(Hexadecimal Number)

• 기수를 16으로 하여 0부터 9까지의 숫자와 `A(10)` 부터 `F(15)` 까지의 문자로 수를 표현하는 방법과 그렇게 표현한 수

(a) $n_{16}  ∈ \mathbb{Z} \; (k > 0, \; 0 ≤ a_{i} ≤ 9 \; 또는 \; A ≤ a_{i} ≤ F)$ 일 때,
$n_{16} = a_{k}a_{k-1} … a_{1}a_{0} = a_{k}16^{k} + a_{k-1}16^{k-1} + … + a_{1}16^{1} + a_{0}16^{0} \quad (k : \text{자릿수})$

(b) $n_{16}  ∈ \mathbb{R} \; (k, l > 0, \; 0 ≤ a_{i} ≤ 9 \; 또는 \; A ≤ a_{i} ≤ F)$ 일 때,
$n_{16} = a_{k}a_{k-1} … a_{1}a_{0} · a_{-1}a_{-2} … a_{-l}a_{-(l+1)} …$
$= a_{k}16^{k} + a_{k-1}16^{k-1} + … + a_{1}16^{1} + a_{0}16^{0} + a_{-1}16^{-1} + a_{-2}16^{-2} + … + a_{-l}16^{-l} + a_{-(l+1)}16^{-(l+1)} + … \;\; (k : \text{자릿수})$

 

• 16진수는 0부터 9까지의 숫자는 그대로 사용하지만, 10부터 15까지의 숫자는 앞에서 사용하는 0부터 5까지의 숫자를 중복하여 사용한다.
  • 예를 들어, 13이 16진수에서 1과 3으로 구성된 수인지 13을 나타내는 수인지를 구분할 필요가 있다.
• 그래서 16진수에서는 10부터 15까지의 숫자 대신 `A` 에서 `F` 까지의 영문 대문자를 사용하여 표현한다.
  • `A` 는 10, `B` 는 11, `C` 는 12, `D` 는 13, `E` 는 14, `F` 는 15
• 이렇게 하면 `13_{16}` 은 '16진수 일삼' 이지만, `D_{16}` 은 '16진수 13'을 의미한다.

 

예제 : 16진수를 기수와 지릿수를 이용하여 풀어 쓰기

 

$9BF.3E_{16}$

$=9 × 16^{2} + B × 16^{1} + F × 16^{0} + 3 × 16^{-1} + E × 16^{-2}$

$=9 × 16^{2} + 11 × 16^{1} + 15 × 16^{0} + 3 × 16^{-1} + 14 × 16^{-2}$