[이산 수학] 행렬의 연산

행렬의 연산

• 행렬에서 가능한 연산은 덧셈, 뺄셈, 스칼라곱, 곱셈이 있다.

 

행렬의 덧셈과 뺄셈

• 행렬의 덧셈과 뺄셈이 가능하려면 두 행렬의 크기가 같아야 한다.

행렬의 크기가 `m × n` 인 두 행렬 `A, B` 에서 같은 위치에 있는 원소끼리 더하거나 빼는 연산

$A = [a_{ij}] = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}, \quad B = [b_{ij}] = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{bmatrix}$ 일 때,

$A + B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix}$

$A - B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} - b_{11} & a_{12} - b_{12} & \cdots & a_{1n} - b_{1n} \\ a_{21} - b_{21} & a_{22} - b_{22} & \cdots & a_{2n} - b_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} - b_{m1} & a_{m2} - b_{m2} & \cdots & a_{mn} - b_{mn} \end{bmatrix}$

• 실수의 덧셈, 뺄셈과 마찬가지로 행렬의 덧셈은 교환 법칙이 성립하고, 뺄셈은 교환 법칙이 성립하지 않는다.
  • `A + B = B + A`
  • `A - B ≠ B - A`

 

행렬의 스칼라곱(Scalar Multiplication)

• 스칼라(Scalar)는 하나의 수로 표현할 수 있는 값을 의미하며 일반적으로 사용하는 실수는 스칼라에 해당한다.
• 행렬과 스칼라 사이에는 곱셈 연산이 가능하다.

행렬 `A` 에서 실수 `k` 를 곱하는 연산

$$kA = k × A = [ka_{ij}] = k \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{bmatrix}$$

 

행렬의 곱셈

• 행렬의 곱셈은 행렬의 덧셈이나 뺄셈의 방식과는 조금 다르다.
  • 행렬의 덧셈이나 뺄셈은 같은 위치에 있는 원소끼리 더하거나 빼는 방식으로 연산한다.
  • 행렬의 곱셈은 연산 결과 행렬의 각 원소 `c_{ij}` 를 구하기 위해 피연산자로 사용되는 두 행렬 `i` 행과 `j` 열에 있는 원소 모두를 이용해 연산해야 한다.

$\color{blue}{m} × \color{red}{n}$ 행렬 `A` 와 $\color{red}{n} × \color{orange}{r}$ 행렬 `B` 가 있을 때, 다음 연산식을 이용하여 구하는 $\color{blue}{m} × \color{orange}{r}$ 행렬  `C`

$$AB = A × B = C = [c_{ij}] \quad (c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} = \sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj})$$
$A = [a_{ij}] = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}, \quad B = [b_{ij}] = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1r} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2r} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nr} \end{bmatrix}$ 일 때,

$AB = A × B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1r} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2r} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nr} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1r} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2r} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mr} \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + \cdots + a_{1n}b_{n1} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + \cdots + a_{1n}b_{n2} & \cdots & a_{11}b_{1r} + a_{12}b_{2r} + \cdots + a_{1n}b_{nr} \\  a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + \cdots + a_{2n}b_{n1} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + \cdots + a_{2n}b_{n2} & \cdots & a_{21}b_{1r} + a_{22}b_{2r} + \cdots + a_{2n}b_{nr} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}b_{11} + a_{m2}b_{21} + \cdots + a_{mn}b_{n1} & a_{m1}b_{12} + a_{m2}b_{22} + \cdots + a_{mn}b_{n2} & \cdots & a_{m1}b_{1r} + a_{m2}b_{2r} + \cdots + a_{mn}b_{nr} \end{bmatrix}$

행렬의 곱셈

• 행렬의 곱셈에서는 피연산자로 사용되는 행렬 중, 곱셈 기호 `×` 의 앞에 오는 행렬의 열 크기와 뒤에 오는 행렬의 행 크기가 같아야 한다.
  
  • 예) 3×4 행렬과 4×2 행렬의 곱셈은 가능하지만, 4×2 행렬과 3×4 행렬의 곱셈은 불가능하다.
    • 행렬의 곱셈은 교환 법칙이 성립하지 않는다. ($AB ≠ BA$ ①)
    • 또한, `AB` 와 `BA` 가 모두 연산이 가능하더라도 두 곱셈 결과가 다를 수 있으므로, 행렬의 교환 법칙은 성립하지 않는다. ($AB ≠ BA$ ②)
• 두 행렬의 곱셈 결과인 행렬의 크기는 피연산자로 사용된 두 행렬의 행과 열의 크기에 영향을 받는다.
  • 크기가 $\color{blue}{m} × \color{red}{n}$ 인 행렬 `A` 와 $\color{red}{n} × \color{orange}{r}$ 인 행렬 `B` 의 곱인 행렬 `AB` 의 크기는 행렬 `A` 의 행 크기와 행렬 `B` 의 열 크기에 의해 결정되므로 행렬 `AB` 의 크기는 $\color{blue}{m} × \color{orange}{r}$ 이다.
  • 예) 3×4 행렬과 4×1 행렬을 곱셈할 경우, 3×1 행렬이 생성된다.

 

행렬 연산의 성질

행렬 `A, B, C`, 영행렬 `O`, 단위 행렬 `I` 와 스칼라 `k, l` 에 대하여 다음이 성립한다.

(1)	$A + B = B + A$ (교환 법칙)
(2)	$A + (B + C) = (A + B) + C$ (결합 법칙)
(3)	$A + O = O + A = A$
(4)	$A + (-A) = (-A) + A = O$
(5)	$(-1)A = -A$
(6)	$k(A + B) = kA + kB$
(7)	$(k + l)A = kA + lA$
(8)	$(kl)A = k(lA)$
(9)	$kAB = (kA)B = A(kB)$
(10)	$AI = IA = A$
(11)	$AO = OA = O$