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조건 명제
- 앞 글에서 합성 명제를 구성하는 단순 명제에 대해 어떤 역할을 부여하지 않았다.
- 그러나 단순 명제에 역할을 부여해 그 단순 명제의 역할이 무엇이냐에 따라 진릿값이 결정되는 합성 명제가 있는데, 조건 명제가 이에 해당한다.
조건 명제(Conditional Proposition : p→q) / 함축(Implication)
명제 p,q 에 대하여, 명제 p 가 전제(Premise) 또는 가정(Hypothesis)이고 명제 q 가 결론(Conclusion) 또는 결과(Consequence)인 명제
- '지구의 자전축이 기울어져 있다면, 지구의 계절은 바뀐다'는 '지구의 자전축이 기울어져 있다(p)'와 지구의계절은바뀐다.(q`)' 라는 두 명제를 결합한 합성 명제이다.
- p : 전제
- q : 결론
- 이처럼 전제와 결론의 관계로 결합된 합성 명제를 조건 명제라고 한다.
- 조건 명제 p→q 를 표현하는 문장은 다음과 같다.
- p 이면 q 이다. (if p, then q)
- p 는 q 를 함축한다. (p implies q)
- q 일 경우에만 p 이다. (p only if q)
- p 는 q 이기 위해 충분하다. (p is sufficient for q)
- q 는 p 를 위해 필요하다. (q is necessary for p)
조건 명제의 진리표
| p | q | p→q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
- 조건 명제 p→q 는 전제 명제 p 가 참(T)이고 결론 명제 q 가 거짓(F)인 경우에만 거짓(F)이고, 그 외의 경우에는 모두 참(T)이다.
예제 : 조건 명제
- '양궁 과녁의 정 가운데를 맞추면 점수는 10점이다.' 라는 조건 명제가 있다고 하자.
- '양궁 과녁의 정 가운데를 맞춘다' : 명제 p (전제)
- '점수는 10점이다.' : 명제 q (결론)
- 이 전제와 결론을 이용하여 각 경우에 따른 조건 명제의 진릿값을 판별해보면 다음과 같다.
| 경우 | 설명 | p → q |
| 1 | 양궁 과녁의 정 가운데를 맞춰서(p 가 T), 점수가 10점(q가 T)이면 확실히 참(T) 상태이다. | 참(T) |
| 2 | 양궁 과녁의 정 가운데를 맞추지 않아도(p 가 F), 점수가 10점(q가 T)인 경우는 과녁의 정 가운데가 아니더라도 가장 작은 원 안에만 맞추면 10점이므로 참(T)이다. | 참(T) |
| 3 | 양궁 과녁의 정 가운데를 맞추지 않는 경우(p 가 F) 중, 점수가 10점이 아닌 경우(q 가 F)는 과녁에서 9점 이하인 영역을 맞추는 경우가 있으므로 참(T)이다. | 참(T) |
| 4 | 양궁 과녁의 정 가운데를 맞췄는데도(p 가 T) 점수가 10점이 아닌 경우(q 가 F)는 있을 수 없으므로 거짓(F)이다. | 거짓(F) |
- 그러므로 전제에 해당하는 명제가 참(T)일 때, 결론에 해당하는 명제가 거짓(F)인 경우를 제외한 모든 경우에 조건 명제의 진릿값은 참(T)이다.
- 조건 명제는 어떤 사실을 증명하거나 추론할 때 유용하게 쓰인다. 이를 위해 조건 명제를 역, 이, 대우와 같은 형태의 명제로 변형할 수 있다.
| 명제 p | 지구의 자전축은 기울어져 있다. |
| 명제 q | 지구의 계절이 바뀐다. |
| 조건 명제 p→q | 지구의 자전축이 기울어져 있다면, 지구의 계절은 바뀐다. |
역(Converse)
조건 명제 p→q 에 대하여, q→p 형태의 명제
- 조건 명제 p→q 에서 전제 명제 p 가 결론이 되고, 결론 명제 q 가 전제가 되는 명제
- p→q 의 역 q→p 는 다음과 같다.
| q→p | 지구의 계절이 바뀌면, 지구의 자전축이 기울어져 있다. |
이(Inverse)
조건 명제 p→q 에 대하여, ¬p→¬q 형태의 명제
- 조건 명제 p→q 에서 명제 p 의 부정 ¬p 를 전제로, 명제 q 의 부정 ¬q 를 결론으로 하는 명제
- p→q 에 대한 이 ¬p→¬q 는 다음과 같다.
| ¬p→¬q | 지구의 자전축이 기울어져 있지 않다면, 지구의 계절은 바뀌지 않는다. |
대우(Contraposition)
조건 명제 p→q 에 대하여, ¬q→¬p 형태의 명제
- 조건 명제 p→q 에서 명제 p 의 부정 ¬p 가 결론이 되고, 명제 q 의 부정 ¬q 가 전제가 되는 명제
- p→q 에 대한 대우 ¬q→¬p 는 다음과 같다.
| ¬q→¬p | 지구의 계절이 바뀌지 않으면, 지구의 자전축이 기울어져 있지 않다. |
역, 이, 대우의 진리표
| p | q | 조건 명제 | 역 | 이 | 대우 |
| p→q | q→p | ¬p→¬q | ¬q→¬p | ||
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T | F |
| F | T | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T |
- 본 명제와 대우 명제의 진릿값은 같다.
- 본 명제를 이용하여 증명 또는 추론하기 어려운 경우에는 대우 명제로 바꿔서 할 수 있다.
쌍방 조건 명제(Biconditional Proposition : p↔q)
명제 p,q 가 모두 전제이면서 동시에 결론인 명제
- 하나의 명제가 전제이면서 결론일 수 있는 합성 명제를 쌍방 조건 명제라고 한다.
- 쌍방 조건 명제 p↔q 는 다음과 같이 표현한다.
- p 이면 q 이며, 그 반대도 성립한다. (if p then q, and conversely)
- p 는 q 의 필요 충분 조건이다. (p is necessary and sufficient for q)
쌍방 조건 명제의 진리표
| p | q | p↔q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
p↔q≡(p→q)∧(q→p)
- 쌍방 조건 명제는 다음과 같은 두 명제의 논리곱(AND)으로 표현할 수 있다.
- (p→q)
- 단순 명제 p : 전제
- 단순 명제 q : 결론
- (q→p)
- 단순 명제 q : 전제
- 단순 명제 p : 결론
- (p→q)
$$p ↔ q ≡ (p → q) \land (q → p)$$
증명 진리표
| p | q | p↔q | p→q | q→p | (p→q)∧(q→p) |
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | F |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
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