[이산 수학] 역행렬

역행렬

• 어떤 수의 곱셈에 대한 역원은 그 수와 곱했을 때 항등원이 나오는 수로, `a ≠ 0` 인 실수 `a` 의 곱셈에 대한 항등원은 `1` 이고, `a` 의 역원은 $\frac{1}{a}\left( a × \frac{1}{a} = 1 \right)$ 이다.
• 행렬에서도 항등원과 역원의 역할을 수행하는 행렬이 있는데, 항등원인 행렬은 단위 행렬 `I` 이고, 역원인 행렬은 역행렬이다.

 

역행렬(Inverse Matrix : $A^{-1}$)

정사각 행렬 `A` 에 대하여, `AB = BA = I` 를 만족하는 행렬 `B`
$$AA^{-1} = A^{-1}A = I$$

• 일반적으로 행렬의 곱셈은 교환 법칙이 성립하지 않지만, 행렬 `A` 와 행렬의 역행렬 `A^{-1}` 를 곱한 $AA^{-1}$ 와 $A^{-1}A$ 는 모두 단위 행렬 `I` 이므로 교환 법칙이 성립한다.

 

예

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$ $BA = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$

• 위 결과에서 행렬 `A` 와 `B` 를 곱한 결과가 단위 행렬 `I` 임을 알 수 있다.
• 그러므로 행렬 `B` 는 행렬 `A` 의 역행렬이고, `A^{-1}` 로 표기할 수 있다.

 

행렬식을 이용한 역행렬

$$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} [A_{ij}]^{T} \quad (\text{단}, det(A) ≠ 0)$$

 

수반 행렬(Adjoint Matrix : $[A_{ij}]^{T}$)

여인수 행렬 $[A_{ij}]$ 의 전치 행렬

 

• 행렬식과 수반 행렬을 이용하면 정사각 행렬의 크기가 무엇이든 상관없이 행렬의 역행렬을 구할 수 있다.
• 따라서 2×2 행렬의 역행렬은 다음과 같이 구할 수 있다.

$\displaystyle A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$
$\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{det(A)}[A_{ij}]^{T} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix}^{T} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

 

예 : $A = \begin{bmatrix} -2 & 2 & -3 \\ 1 & 0 & 1 \\ -4 & 3 & -5 \end{bmatrix}$ 의 역행렬 구하기

• 행렬 `A` 의 여인수 행렬과 행렬식을 구하면 다음과 같다.

$[A_{ij}] = \begin{bmatrix} -3 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & -1 & -2 \end{bmatrix}, \quad det(A) = -1$

 

• 여인수 행렬의 행과 열을 바꿔서 수반 행렬을 구하면 다음과 같다.

$[A_{ij}]^{T} = \begin{bmatrix} -3 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 3 & -2 & -2 \end{bmatrix}$

 

• 행렬식과 수반 행렬을 이용하여 행렬 `A` 의 역행렬을 구하면 다음과 같다.

$A^{-1} = (-1) × \begin{bmatrix} -3 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 3 & -2 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 & -2 \\ -1 & 2 & 1 \\ -3 & 2 & 2 \end{bmatrix}$

 

가역행렬(Invertible Matrix)과 특이 행렬(Singular Matrix)

① 가역 행렬(Invertible Matrix) : 역행렬이 존재하는 행렬, $det(A) ≠ 0$ 인 행렬
② 특이 행렬(Singular Matrix) : 역행렬이 존재하지 않는 행렬, $det(A) = 0$ 인 행렬