[BOJ-11054][C++] 가장 긴 바이토닉 부분 수열

문제

수열 S가 어떤 수 $S_k$를 기준으로 $S_1 < S_2 < ... S_{k-1} < S_k > S_{k+1} > ... S_{N-1} > S_N$ 을 만족한다면, 그 수열을 바이토닉 수열이라고 한다.

예를 들어, {10, 20, 30, 25, 20}과 {10, 20, 30, 40}, {50, 40, 25, 10} 은 바이토닉 수열이지만,  {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1}과 {10, 20, 30, 40, 20, 30} 은 바이토닉 수열이 아니다.

수열 A가 주어졌을 때, 그 수열의 부분 수열 중 바이토닉 수열이면서 가장 긴 수열의 길이를 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

입력

첫째 줄에 수열 A의 크기 N이 주어지고, 둘째 줄에는 수열 A를 이루고 있는 $A_i$가 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000, 1 ≤ $A_i$ ≤ 1,000)

 

출력

첫째 줄에 수열 A의 부분 수열 중에서 가장 긴 바이토닉 수열의 길이를 출력한다.

 

예제 입력 1

10
1 5 2 1 4 3 4 5 2 1

 

예제 출력 1

7

 

힌트

예제의 경우 {1 5 2 1 4 3 4 5 2 1}이 가장 긴 바이토닉 부분 수열이다.

 

알고리즘 분류

• 다이나믹 프로그래밍

 

문제 출처

https://www.acmicpc.net/problem/11054

11054번: 가장 긴 바이토닉 부분 수열

 

---

 

문제 해결 방법

• DP를 이용하여 문제를 풀었다.
• LIS(최장 증가 부분 수열)와 LDS(최장 감소 부분 수열)를 구하는 알고리즘을 모두 알고 있다면 쉽게 풀 수 있는 문제였다.
  • 가장 긴 증가하는 부분 수열 (바로가기)
  • 가장 긴 감소하는 부분 수열 (바로가기)
• 문제 해결의 핵심은 LIS를 구하는 과정에서 채워진 DP 테이블(@dp_LIS@)의 각각의 값과 LDS를 구하는 과정에서 채워진 DP 테이블(@dp_LDS@)의 각각의 값을 더 해준후 1을 빼준 값(@dp_result@) 중, 최댓값을 출력하는 것이다. 
  • 1을 빼주는 이유는 두 DP 테이블의 요소를 합하는 과정에서 $S_{k}$를 2번 더했기 때문이다.
• LIS를 구하는 알고리즘은 다음과 같다.

void findLIS(int n) {
    fill_n(dp_LIS, 1001, 1);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            if (nums[j] < nums[i]) {
                dp_LIS[i] = max(dp_LIS[j] + 1, dp_LIS[i]);    
            }
        }
    }
}

• LDS를 구하는 알고리즘은 다음과 같다.

void findLDS(int n) {
    fill_n(dp_LDS, 1001, 1);

    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        for (int j = n; j > i; j--) {
            if (nums[i] > nums[j]) {
                dp_LDS[i] = max(dp_LDS[i], dp_LDS[j] + 1);
            }
        }
    }
}

•  가장 긴 바이토닉 부분 수열의 길이를 구하는 알고리즘은 다음과 같다.

int Solution(int n) {
    int result = 0;

    findLIS(n);    // LIS 구하기
    findLDS(n);    // LDS 구하기

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp_result[i] = dp_LIS[i] + dp_LDS[i] - 1;   // Sk가 2번 세어졌으므로 1을 빼준다.
        result = max(result, dp_result[i]);    // 최댓값 구하기
    }

    return result;
}

 

코드

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int N;
int nums[1001];
int dp_LIS[1001];
int dp_LDS[1001];
int dp_result[1001];

void Input() {
    cin >> N;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        cin >> nums[i];
    }
}

void findLIS(int n) {
    fill_n(dp_LIS, 1001, 1);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            if (nums[j] < nums[i]) {
                dp_LIS[i] = max(dp_LIS[j] + 1, dp_LIS[i]);    
            }
        }
    }
}

void findLDS(int n) {
    fill_n(dp_LDS, 1001, 1);

    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        for (int j = n; j > i; j--) {
            if (nums[i] > nums[j]) {
                dp_LDS[i] = max(dp_LDS[i], dp_LDS[j] + 1);
            }
        }
    }
}

int Solution(int n) {
    int result = 0;

    findLIS(n);    // LIS 구하기
    findLDS(n);    // LDS 구하기

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp_result[i] = dp_LIS[i] + dp_LDS[i] - 1;   // Sk가 2번 세어졌으므로 1을 빼준다.
        result = max(result, dp_result[i]);    // 최댓값 구하기
    }

    return result;
}

void Output() {
    cout << Solution(N) << '\n';
}

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);

    Input();
    Output();

    return 0;
}

 

채점 결과

 

참고

• [단계별로 풀어보기] > [동적 계획법 1]
• 골드IV

 

가장 긴 바이토닉 수열(Longest Bitonic Subsequence)

개념

• 수열 S가 어떤 수 $S_k$를 기준으로 $S_1 < S_2 < ... S_{k-1} < S_k > S_{k+1} > ... S_{N-1} > S_N$ 을 만족한다면, 그 수열을 바이토닉 수열(Bitonic Subsequence)이라고 한다.

 

알고리즘($O(n^{2})$)

void findLIS(int n) {
    fill_n(dp_LIS, 1001, 1);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            if (nums[j] < nums[i]) {
                dp_LIS[i] = max(dp_LIS[j] + 1, dp_LIS[i]);    
            }
        }
    }
}

void findLDS(int n) {
    fill_n(dp_LDS, 1001, 1);

    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        for (int j = n; j > i; j--) {
            if (nums[i] > nums[j]) {
                dp_LDS[i] = max(dp_LDS[i], dp_LDS[j] + 1);
            }
        }
    }
}

int LongestBitonicSubsequence(int n) {
    int result = 0;

    findLIS(n);    
    findLDS(n);   

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp_result[i] = dp_LIS[i] + dp_LDS[i] - 1;   // Sk가 2번 세어졌으므로 1을 빼준다.
        result = max(result, dp_result[i]); 
    }

    return result;
}

 

참고 사이트

• https://www.geeksforgeeks.org/longest-bitonic-subsequence-dp-15/

Longest Bitonic Subsequence | DP-15 - GeeksforGeeks

 

관련 문제

• https://dev-astra.tistory.com/321

[BOJ-11053][C++] 가장 긴 증가하는 부분 수열

• https://dev-astra.tistory.com/323

[BOJ-11722][C++] 가장 긴 감소하는 부분 수열