[BOJ-11053][C++] 가장 긴 증가하는 부분 수열

문제

수열 A가 주어졌을 때, 가장 긴 증가하는 부분 수열을 구하는 프로그램을 작성하시오.

예를 들어, 수열 A = {10, 20, 10, 30, 20, 50} 인 경우에 가장 긴 증가하는 부분 수열은 A = {10, 20, 10, 30, 20, 50} 이고, 길이는 4이다.

 

입력

첫째 줄에 수열 A의 크기 N (1 ≤ N ≤ 1,000)이 주어진다.

둘째 줄에는 수열 A를 이루고 있는 $A_i$가 주어진다. (1 ≤ $A_i$ ≤ 1,000)

 

출력

첫째 줄에 수열 A의 가장 긴 증가하는 부분 수열의 길이를 출력한다.

 

예제 입력 1 

6
10 20 10 30 20 50

 

예제 출력 1 

4

 

알고리즘 분류

• 다이나믹 프로그래밍

 

문제 출처

https://www.acmicpc.net/problem/11053

11053번: 가장 긴 증가하는 부분 수열

 

---

 

문제 해결 방법

• DP를 이용하여 문제를 해결하였다.
• 모든 부분 수열의 길이는 1부터 시작하므로, 다음과 같이 DP 배열(@dp[1001]@)의 모든 값을 1로 채워넣었다.

int nums[1001];
int dp[1001];

fill_n(dp, 1001, 1);

• @N@번째가 가장 긴 증가하는 부분 수열이 되려면, 이전의 증가하는 부분 수열 중에서 해당 부분 수열의 값이 @nums[N]@보다 작아야하고, 가장 긴 것을 가져오면 된다.

---

• @예제 입력 1@을 이용하여 문제를 해결해보자.

10

20

10

30

20

50

 

	1	2	3	4	5	6
nums	10
dp	1

• 10(@nums[1]@) 이전의 수열은 없으므로 @dp[1] = 1@이다.

 

	1	2	3	4	5	6
nums	10	20
dp	1	2

• 20(@nums[2]@) 이전의 수열 중, 20보다 작은 수는 10(@nums[1]@)이다.
• 따라서 @dp[2] = max(dp[1] + 1, dp[2]) = max(2, 2) = 2@이다.

 

	1	2	3	4	5	6
nums	10	20	10
dp	1	2	1

• 10(@nums[3]@)  이전의 수열 중, 10보다 작은 수는 없다.
• 따라서 @dp[3] = 1@이다.

 

	1	2	3	4	5	6
nums	10	20	10	30
dp	1	2	1	3

• 30(@nums[4]@) 이전의 수열 중, 30보다 작은 수는 10(@nums[1]@), 20(@nums[2]@), 10(@nums[3]@)이다.
• 왼쪽에서 오른쪽으로 값을 이동하면서 @dp[4]@의 값을 업데이트 해보자.
• 10(@nums[1]@)을 지날 때, @dp[4] = max(dp[1] + 1, dp[4]) = max(2, 1) = 2@이다.
• 20(@nums[2]@)을 지날 때, @dp[4] = max(dp[2] + 1, dp[4]) = max(3, 2) = 3@이다.
• 10(@nums[3]@)을 지날 때, @dp[4] = max(dp[3] + 1, dp[4]) = max(2, 3) = 3@이다.
• 따라서 @dp[4] = 3@이다.

 

	1	2	3	4	5	6
nums	10	20	10	30	20
dp	1	2	1	3	2

• 20(@nums[5]@) 이전의 수열 중, 20보다 작은 수는 10(@nums[1]@), 10(@nums[3]@)이다.
• 왼쪽에서 오른쪽으로 접근하면서 @dp[5]@의 값을 업데이트 해보자.
• 10(@nums[1]@)을 지날 때, @dp[5] = max(dp[1] + 1, dp[5]) = max(2, 1) = 2@이다.
• 10(@nums[3]@)을 지날 때, @dp[5] = max(dp[3] + 1, dp[5]) = max(2, 2) = 2@이다.
• 따라서 @dp[5] = 2@이다.

 

	1	2	3	4	5	6
nums	10	20	10	30	20	50
dp	1	2	1	3	2	4

• 50(@nums[6]@) 이전의 수열 중, 50보다 작은 수는 10(@nums[1]@), 20(@nums[2]@), 10(@nums[3]@), 30(@nums[4]@), 20(@nums[5]@)이다.
• 왼쪽에서 오른쪽으로 값을 이동하면서 @dp[6]@의 값을 업데이트 해보자.
• 10(@nums[1]@)을 지날 때, @dp[6] = max(dp[1] + 1, dp[6]) = max(2, 1) = 2@이다.
• 20(@nums[2]@)을 지날 때, @dp[6] = max(dp[2] + 1, dp[6]) = max(3, 2) = 3@이다.
• 10(@nums[3]@)을 지날 때, @dp[6] = max(dp[3] + 1, dp[6]) = max(2, 3) = 3@이다.
• 30(@nums[4]@)을 지날 때, @dp[6] = max(dp[4] + 1, dp[6]) = max(4, 3) = 4@이다.
• 20(@nums[5]@)을 지날 때, @dp[6] = max(dp[5] + 1, dp[6]) = max(3, 4) = 4@이다.
• 따라서 @dp[6] = 4@이다.

---

• 그렇다면 @dp[n]@이 가장 긴 증가하는 부분 수열의 길이일까? 그렇지 않다.
• 예를 들어, @예제 입력 1@에서 마지막에 @20@을 넣어보고, @dp[7]@의 값을 구해보자. (@n = 7@)

	1	2	3	4	5	6	7
nums	10	20	10	30	20	50	20
dp	1	2	1	3	2	4	2

• 20(@nums[7]@) 이전의 수열 중, 20보다 작은 수는 10(@nums[1]@), 10(@nums[3]@)이다.
• 왼쪽에서 오른쪽으로 값을 이동하면서 @dp[7]@의 값을 업데이트 해보자.
• 10(@nums[1]@)을 지날 때, @dp[7] = max(dp[1] + 1, dp[7]) = max(2, 1) = 2@이다.
• 10(@nums[3]@)을 지날 때, @dp[7] = max(dp[3] + 1, dp[7]) = max(2, 2) = 2@이다.
• 따라서 @dp[7] = 2@이며, @dp[7]@은 가장 긴 증가하는 부분 수열의 길이가 아니다.
• 그러므로 @dp@ 배열에서 최댓값을 찾아서 출력해줘야 한다.

 

코드로 표현하기

• 위의 설명을 코드로 표현하면 다음과 같다.

int Solution(int n) {
    int result = 0;

    fill_n(dp, 1001, 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            if (nums[j] < nums[i]) {
                dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i]);
            }
        }
        result = max(result, dp[i]);    // 최댓값 구하기
    }

    return result;
}

 

코드

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int N;
int nums[1001];
int dp[1001];

void Input() {
    cin >> N;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        cin >> nums[i];
    }
}

int Solution(int n) {
    int result = 0;

    fill_n(dp, 1001, 1);    // 1로 채우기
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            if (nums[j] < nums[i]) {
                dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i]);
            }
        }
        result = max(result, dp[i]);    // 최댓값 구하기
    }

    return result;
}

void Output() {
    cout << Solution(N) << '\n';
}

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);

    Input();
    Output();

    return 0;
}

 

채점 결과

 

참고

• [단계별로 풀어보기] > [동적 계획법 1]
• 실버II

 

가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS: Longest Increasing Subsequence)

개념

• 동적 계획법으로 풀 수 있는 유명한 알고리즘 문제
• 어떤 임의의 수열이 주어질 때, 이 수열에서 몇 개의 수들을 제거해서 부분 수열을 만들 수 있다.
• 이 때, 만들어진 부분 수열 중 오름차순으로 정렬된 가장 긴 수열을 최장 증가 부분 수열이라 한다.

 

알고리즘 ($O(N^{2})$)

int LIS(int n) {
    int maxN = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            if (nums[j] < nums[i]) {
                dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i]);
            }
        }
        maxN = max(maxN, dp[i]); 
    }

    return maxN;
}

 

참고 사이트

• https://namu.wiki/w/%EC%B5%9C%EC%9E%A5%20%EC%A6%9D%EA%B0%80%20%EB%B6%80%EB%B6%84%20%EC%88%98%EC%97%B4

최장 증가 부분 수열 - 나무위키