[BOJ-11722][C++] 가장 긴 감소하는 부분 수열

문제

수열 A가 주어졌을 때, 가장 긴 감소하는 부분 수열을 구하는 프로그램을 작성하시오.

예를 들어, 수열 A = {10, 30, 10, 20, 20, 10} 인 경우에 가장 긴 감소하는 부분 수열은 A = {10, 30, 10, 20, 20, 10}  이고, 길이는 3이다.

 

입력

첫째 줄에 수열 A의 크기 N (1 ≤ N ≤ 1,000)이 주어진다.

둘째 줄에는 수열 A를 이루고 있는 $A_i$가 주어진다. (1 ≤ $A_i$ ≤ 1,000)

 

출력

첫째 줄에 수열 A의 가장 긴 감소하는 부분 수열의 길이를 출력한다.

 

예제 입력 1

6
10 30 10 20 20 10

 

예제 출력 1 

3

 

알고리즘 분류

• 다이나믹 프로그래밍

 

문제 출처

https://www.acmicpc.net/problem/11722

11722번: 가장 긴 감소하는 부분 수열

 

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문제 해결 방법

• DP를 이용하여 문제를 풀었다. 가장 긴 증가하는 부분 수열 문제(바로가기)에서 코드의 일부분만 수정해서 풀 수 있었던 문제였다.
  • 가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS)의 경우 첫 번째 인덱스부터 시작하지만, 가장 긴 감소하는 부분 수열(LDS)의 경우 마지막 인덱스부터 시작한다.
• 모든 부분 수열의 길이는 1부터 시작하므로, 다음과 같이 DP 배열(@dp[1001]@)의 모든 값을 1로 채워넣었다.

int nums[1001];
int dp[1001];

fill_n(dp, 1001, 1);

• @N@번째가 가장 긴 감소하는 부분 수열이 되려면, 이후의 감소하는 부분 수열 중에서 해당 부분 수열의 값이 @nums[N]@보다 작아야하고, 가장 긴 것을 가져오면 된다.

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• @예제 입력 1@을 이용하여 문제를 해결해보자.

10

30

10

20

20

10

 

	1	2	3	4	5	6
nums						10
dp						1

• 10(@nums[6]@) 이후의 수열은 없으므로 @dp[6] = 1@이다.

 

	1	2	3	4	5	6
nums					20	10
dp					2	1

• 20(@nums[5]@) 이후의 수열 중, 20보다 작은 수는 10(@nums[6]@)이다.
• 따라서 @dp[5] = max(dp[6] + 1, dp[5]) = max(2, 1) = 2@이다.

 

	1	2	3	4	5	6
nums				20	20	10
dp				2	2	1

• 20(@nums[4]@)  이후의 수열 중, 20보다 작은 수는 10(@nums[6]@)이다.
• 따라서 @dp[4] = max(dp[6] + 1, dp[4]) = max(2, 1) = 2@이다.

 

	1	2	3	4	5	6
nums			10	20	20	10
dp			1	2	2	1

• 10(@nums[3]@) 이후의 수열 중, 10보다 작은 수는 없다.
• 따라서 @dp[3] = 1@이다.

 

	1	2	3	4	5	6
nums		30	10	20	20	10
dp		3	1	2	2	1

• 30(@nums[2]@) 이후의 수열 중, 30보다 작은 수는 10(@nums[3]@), 20(@nums[4]@), 20(@nums[5]@), 10(@nums[6]@)이다.
• 오른쪽에서 왼쪽으로 접근하면서 @dp[2]@의 값을 업데이트 해보자.
• 10(@nums[6]@)을 지날 때, @dp[2] = max(dp[6] + 1, dp[2]) = max(2, 1) = 2@이다.
• 20(@nums[5]@)을 지날 때, @dp[2] = max(dp[5] + 1, dp[2]) = max(3, 2) = 3@이다.
• 20(@nums[4]@)을 지날 때, @dp[2] = max(dp[4] + 1, dp[2]) = max(3, 3) = 3@이다.
• 10(@nums[3]@)을 지날 때, @dp[2] = max(dp[3] + 1, dp[2]) = max(2, 3) = 3@이다.
• 따라서 @dp[2] = 3@이다.

 

	1	2	3	4	5	6
nums	10	30	10	20	20	10
dp	1	3	1	2	2	1

• 10(@nums[1]@) 이후의 수열 중, 10보다 작은 수는 없다.
• 따라서 @dp[1] = 1@이다.

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• @dp@ 배열에서의 최댓값이 가장 긴 감소하는 부분 수열의 길이이다.

 

코드로 표현하기

• 위의 설명을 코드로 표현하면 다음과 같다.

int Solution(int n) {
    int result = 0;

    fill_n(dp, 1001, 1);
    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        for (int j = n; j > i; j--) {
            if (nums[i] > nums[j]) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
        result = max(result, dp[i]);
    }

    return result;
}

 

코드

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int N;
int nums[1001];
int dp[1001];

void Input() {
    cin >> N;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        cin >> nums[i];
    }
}

int Solution(int n) {
    int result = 0;

    fill_n(dp, 1001, 1);
    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        for (int j = n; j > i; j--) {
            if (nums[i] > nums[j]) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
        result = max(result, dp[i]);    // 최댓값 구하기
    }

    return result;
}

void Output() {
    cout << Solution(N) << '\n';
}

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);

    Input();
    Output();

    return 0;
}

 

채점 결과

 

참고

• 실버II

 

 

가장 긴 감소하는 부분 수열(LDS: Longest Decreasing Subsequence)

개념

• 동적 계획법으로 풀 수 있는 유명한 알고리즘 문제
• 어떤 임의의 수열이 주어질 때, 이 수열에서 몇 개의 수들을 제거해서 부분 수열을 만들 수 있다.
• 이 때, 만들어진 부분 수열 중 내림차순으로 정렬된 가장 긴 수열을 최장 감소 부분 수열이라 한다.

 

알고리즘 ($O(N^{2})$)

int LDS(int n) {
    int maxN = 0;

    fill_n(dp, 1001, 1);
    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        for (int j = n; j > i; j--) {
            if (nums[i] > nums[j]) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
        maxN = max(maxN, dp[i]); 
    }

    return maxN;
}

 

관련 문제

• https://dev-astra.tistory.com/321

[BOJ-11053][C++] 가장 긴 증가하는 부분 수열