Per ardua ad astra.

추론 컴퓨터 시스템으로 구현한 것 중, 인간의 학습, 추론, 지각 등의 능력을 구현한 것이 인공지능(AI)인데, 인공지능은 이미 참(T)으로 판별된 명제와 반박할 수 없는 논리 규칙을 이용하여 새로운 참(T)인 명제를 정보로 획득하는 방식으로 지능을 높인다. 이처럼 참(T)인 명제와 논리 규칙을 이용하여 또 다른 참(T)인 명제를 유도해나가는 과정을 추론이라고 한다. 추론의 개념 추론(Inference) / 논증(Reasoning) 참(T)인 명제를 근거로 하여 다른 명제가 참(T)임을 유도하는 과정 또는 방식 전제(Hypothesis)와 결론(Conclusion) 추론에서 사용하는 명제는 추론의 근거로 사용하는 명제와 결론으로 나오는 명제로 구성된다. ① 전제(Hypothesis) : 결론의 근거가 되..

명제 함수와 한정자 명제의 정의에 따라 식 `x > 10` 은 `x` 값이 정해지지 않았으므로 진릿값을 판별할 수 없어 명제가 아니다. 그러나 `x` 의 값이나 범위가 주어진다면 진릿값을 판별할 수 있으므로 명제가 될 수 있다. 이와 같이 범위가 주어진 변수를 포함하는 명제를 명제 함수라 하고, 주어진 범위를 논의 영역이라고 한다. 명제 함수(Propositional Function : $P(x)$) 논의 영역이 주어진 변수 `x` 를 포함하여 진릿값을 판별할 수 있는 문장이나 수식 논의 영역(Domain of Discource : $D$) 명제 함수에 포함된 변수 `x` 의 범위나 값 명제 함수는 일반적으로 `P, Q, R, \codts` 과 같은 대문자와 명제 함수에 포함된 변수를 함께 표시한다. 명..

논리적 동치 합성 명제는 하나 이상의 단순 명제를 논리 연산자로 결합한 형태이므로 복잡한 형태일 수도 있다. 합성 명제가 복잡하다는 것은 컴퓨터 시스템에서 표현하고 연산해야 하는 논리 연산의 수가 많음을 의미한다. 이렇게 많은 논리 연산으로 복잡하게 표현된 합성 명제를 진릿값이 같으면서 단순한 논리 연산으로 표현된 합성 명제로 대체한다면, 컴퓨터 시스템에서도 같은 결과를 내면서 간단하고 빠르게 표현하고 연산할 수 있을 것이다. 논리적 동치(Logically Equivalence : $P ≡ Q$) 두 합성 명제 `P` 와 `Q` 의 진릿값이 서로 같은 경우 두 합성 명제 `P, Q` 에 대하여 `P ≡ Q` 일 때 '합성 명제 `P` 와 `Q` 는 동치이다' 또는 '합성 명제 `P` 와 `Q` 는 같다'..

합성 명제 논리 연산자의 우선 순위 합성 명제는 하나 이상의 단순 명제를 논리 연산자로 결합한 명제를 말한다. 합성 명제의 진릿값은 각 단순 명제의 진릿값에 따라 달라지지만, 논리 연산자의 연산 순서 또한 진릿값을 결정하는 데 영향을 미친다. 우선순위 논리 연산자 1 $\neg$ 2 $\land$ 3 $\lor$ 4 $→$ 5 $↔$ 합성 명제에서 괄호로 묶은 연산은 먼저 해야 한다. 예) $(\neg p \lor q) \land r$ $\lor$ 가 $\land$ 보다 우선 순위가 낮지만, $\lor$ 는 괄호 안의 연산이므로 $\neg p$ 와 `q` 를 $\lor$ 연산한 후 `r` 과 $\land$ 연산한다. 그러므로 합성 명제 $(\neg p \lor q) \land r$ 과 $\neg p \l..

조건 명제 앞 글에서 합성 명제를 구성하는 단순 명제에 대해 어떤 역할을 부여하지 않았다. 그러나 단순 명제에 역할을 부여해 그 단순 명제의 역할이 무엇이냐에 따라 진릿값이 결정되는 합성 명제가 있는데, 조건 명제가 이에 해당한다. 조건 명제(Conditional Proposition : $p → q$) / 함축(Implication) 명제 `p, q` 에 대하여, 명제 `p` 가 전제(Premise) 또는 가정(Hypothesis)이고 명제 `q` 가 결론(Conclusion) 또는 결과(Consequence)인 명제 '지구의 자전축이 기울어져 있다면, 지구의 계절은 바뀐다'는 '지구의 자전축이 기울어져 있다(`p`)'와 `지구의 계절은 바뀐다.(`q`)' 라는 두 명제를 결합한 합성 명제이다. `p`..

논리 연산자 일반적으로 명제 하나를 단순 명제(Simple Proposition)라고 한다. 하나 이상의 단순 명제를 부정, 논리곱, 논리합, 베타적 논리합과 같은 논리 연산자로 결합하면 새로운 하나의 명제가 되기도 하는데, 이를 합성 명제(Compound Proposition)라고 한다. 합성 명제(Compound Proposition) 하나 이상의 명제들이 논리 연산자에 의해 결합된 명제 합성 명제를 구성하는 단순 명제의 진릿값과 논리 연산자에 따라 합성 명제의 진릿값은 달라진다. 그러므로 합성 명제의 진릿값을 판별하기 위해 진리표(Truth Table)를 사용한다. 진리표(Truth Table) 합성 명제를 구성하는 단순 명제의 진릿값에 따른 논리 연산 결과를 나타낸 표 ① 부정(NOT : $\ne..

명제 현실 세계를 간략하고 정확하게 판별하도록 표현한 문장 수학적 논리를 구성하는 가장 기본적인 단위 명제는 누구나 객관적으로 참(T)과 거짓(F)을 구분할 수 있어야 한다. 진릿값(Truth Value) 참(True : T)이나 거짓(False : F)을 가리키는 값 명제(Proposition) 객관적인 기준으로 진릿값을 구분할 수 있는 문장이나 수식 일반적으로 명제는 영문 소문자 $p, \;q, \;r, \;\cdots$ 로 표현 명제는 객관적으로 참(T)과 거짓(F)을 구분할 수 있는 문자이어야 한다. 명제가 아닌 예 '짜장면은 맛있다.' 와 같은 문장은 주관적 판단에 따라 답이 달라질 수 있는 문장이다. `x + 1 = 2` 와 같은 식은 미지수 `x` 값에 따라 참(T)과 거짓(F)이 달라질 수..

컴퓨터에서의 수의 표현과 연산 컴퓨터에서의 연산은 2진수 표현만으로는 덧셈과 곱셈 연산만 가능하다. 컴퓨터는 기본적인 2진수 표현에 대한 보수(Complement) 표현으로 바꿔서 뺄셈과 나눗셈 연산을 수행한다. 보수(Complement) 보충해주는 수 어떤 수 `a` 에 대한 `n` 의 보수는 `a` 와의 합이 `n` 이 되는 수 기수가 `n` 인 어떤 수 `a` 에 대한 `n` 의 보수는 `n` 으로부터 `a` 까지 떨어진 거리라고도 할 수 있다. `n` 진수에서의 보수는 `n` 의 보수와 `n - 1` 의 보수가 존재한다. 10진수에는 10의 보수와 9의 보수가 존재하고, 5진수에는 5의 보수와 4의 보수가 존재하는 것처럼, 2진수를 사용하는 컴퓨터에서는 2의 보수와 1의 보수가 존재한다. 1의 보..

진법별 사칙연산 올림수와 빌림수 진법별로 덧셈에서 올림수가 발생하는 경우나, 뺄셈에서의 빌림수가 다를 뿐, 기본적으로 사칙연산의 원리는 진법에 상관 없이 같다. 10진수, 2진수, 8진수, 16진수는 각각 두 수의 합이 10, 2, 8, 16 이상이면 올림수가 발생한다. 10진수, 2진수, 8진수, 16진수의 뺄셈의 빌림수는 각각 10, 2, 8, 16이다. 올림수(Carry Digit) 덧셈에서 두 수의 덧셈 결과가 10(10진수), 2(2진수), 8(8진수), 16(16진수) 이상일 때 상위에 올리는 수 1이 올림수에 해당된다. 빌림수(Borrow Digit) 뺄셈 피연산자1 - 피연산자2 에서 피연산자1 < 피연산자2 일 때 하위에 빌려주는 수 10(10진수), 2(2진수), 8(8진수), 16(1..

진법 간 변환 사람이 사용하는 수로 컴퓨터에 데이터를 입력하거나 연산을 요구하면, 컴퓨터는 자신이 사용하는 2진수로 변환하여 처리하며, 데이터가 방대해짐에 따라 8진수나 16진수로 표현하기도 한다. 10진수와 2진수는 어떤 진법으로든 변환이 가능하지만, 8진수와 16진수는 서로 직접 변환이 불가능하다. 그러므로 8진수를 16진수로, 또는 16진수를 8진수로 변환하기 위해서는 먼저 10진수나 2진수로 변환한 후에 8진수나 16진수로 변환해야 한다. [1] 10진수 → 2진수 / 8진수 / 16진수 10진 실수를 2진수, 8진수 또는 16진수로 변환할 때는 정수부와 소수부를 변환하는 방법이 다르다. 정수부 구하기 몫이 0이 될 때까지 변환하려는 기수로 나누면서 각 단계마다 나오는 나머지를 나열하는 방식으로 ..

진법별 표현 몇 개의 숫자를 이용하여 수를 표현하느냐에 따라 진법이 결정된다. `n` 진법과 `n` 진수 `0` 부터 `n - 1` 까지의 숫자로 수를 표현하는 방법과 그렇게 표현한 수 현재 사용하고 있는 진법의 표기를 기수(Base)라고 한다. 만약 `n` 진법을 사용하고 있다면 기수는 `n` 으로, 표현한 수의 오른쪽 끝에 아래 첨자로 표기한다. 예) $1365_{10}$ (10진수) 10진수는 기수를 생략하여 $1365$ 로만 작성할 수 있다. 예) $1365_{8}$ (8진수) 기수에 따라 읽는 방법도 다르다. 10진수는 천, 백, 십, 일 단위를 붙여 읽는다. $1365_{10}$ : 천삼백육십오 2진수, 8진수, 16진수는 숫자를 하나씩 순서대로 읽는다. $1101_{2}$ : 2진수 일일공일..

수의 연산 연산의 성질 수를 연산한 결과는 수의 체계와 연산자의 종류에 따라 결정된다. 연산에 피연산자로 사용한 수, 그리고 연산 결과로 나오는 수의 체계와 관계는 닫힘 성질로 정의할 수 있다. 닫힘 성질 수 체계 `S` 에 속하는 어떤 수 `a, b` 를 연산자 `O` 로 연산한 결과가 `S` 에 속하면 '수 체계 `S` 는 연산자 `O` 에 대해 닫혀 있다(Closed)'고 하고, 그렇지 않으면 '수 체계 `S` 는 연산자 `O` 에 대해 닫혀 있지 않다'고 한다. 수 체계별 사칙 연산의 닫힘 성질 유리수와 무리수의 닫힘 성질은 정반대이다. 무리수의 닫힘 성질 증명 예 덧셈 : $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ 뺄셈 : $\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$ 곱셈 : $\sq..

수의 체계 수의 체계 수의 체계는 다음과 같이 표현할 수 있다. 수의 체계에 포함되는 다양한 형태의 수를 이해하기 위해 수의 기수(Base)의 자릿수를 이해해야 한다. 기수(Base) 10진수, 2진수와 같이 수 표현의 근거를 알려주는 수 숫자의 끝에 아래 첨자로 표기한다. 일반적으로 10진수는 그 표기를 생략하기도 한다. 예) $143_{10}, 11001_{2}, …$ 자릿수(Digit) 수를 구성하는 각 숫자의 위치 소수점을 기준으로 정한다. 10진 실수 $123.4567_{10}$ 의 각 숫자에 대한 자릿수 10진 실수 1 2 3 . 4 5 6 7 자릿수 2 1 0 -1 -2 -3 -4 자연수(Natural Number : $\mathbb{N}$) 0보다 큰 양의 정수 $n, \;a, \;b ∈ ..