[이산 수학] 수의 체계

수의 체계

수의 체계

• 수의 체계는 다음과 같이 표현할 수 있다.

• 수의 체계에 포함되는 다양한 형태의 수를 이해하기 위해 수의 기수(Base)의 자릿수를 이해해야 한다.

 

기수(Base)

• 10진수, 2진수와 같이 수 표현의 근거를 알려주는 수
• 숫자의 끝에 아래 첨자로 표기한다.
  • 일반적으로 10진수는 그 표기를 생략하기도 한다.
• 예) $143_{10}, 11001_{2}, …$

 

자릿수(Digit)

• 수를 구성하는 각 숫자의 위치
• 소수점을 기준으로 정한다.

10진 실수 $123.4567_{10}$ 의 각 숫자에 대한 자릿수
10진 실수	1	2	3	.	4	5	6	7
자릿수	2	1	0		-1	-2	-3	-4

 

자연수(Natural Number : $\mathbb{N}$)

0보다 큰 양의 정수  $n, \;a, \;b ∈ \mathbb{N}$ 이고,  $b > 1, \; 0 ≤ a_{i} < b$   ($a_{i}$ : 자연수 `n` 을 구성하는 `i` 번째 숫자, $i ≥ 0$)일 때,

$$n = a_{k}b^{k} + a_{k-1}b^{k-1} + … + a_{1}b^{1} + a_{0}b^{0} \quad \text(b : 기수, \; k : 자릿수)$$

 

예

• $589_{10} = 5 × 10^{2} + 8 × 10^{1} + 9 × 10^{0}$

 

정수(Integer : $\mathbb{Z}$)

양의 정수, 0, 음의 정수로 구성된 수

• 0 : 양의 정수나 음의 정수에 속하지 않는 수로, +나 -와 같은 부호가 붙지 않는다.
• 음의 정수 : 숫자 앞에 - 부호가 붙는 0보다 작은 수
• 양의 정수 : 숫자 앞에 + 부호가 붙거나 부호가 생략된 0보다 큰 수로, 자연수와 같은 범위의 수

 

예

• $|28|$ 을 갖는 모든 정수는 $+28$ 과 $-28$ 이다.

 

유리수(Rational Number: $\mathbb{Q}$)

$a, b ∈ \mathbb{Z}$ 이고, $a ≠ 0$ 일 때  $\frac{b}{a}$  인 수

• 정수 집합은 유리수 집합에 포함된다.
  • 양의 정수 `2` 는 유리수 `\frac{2}{1}(1, 2 ∈ \mathbb{Z}, 1 ≠ 0)` 로 표현할 수 있다.
• 유리수는 같은 값을 다르게 표현할 수 있다.
  • 예) $\frac{6}{27} = \frac{2}{9}$
  • $\frac{6}{27}, \frac{12}{24}, \frac{4}{8}$ 는 분자와 분모 사이에 1 이외의 공약수가 존재하여 약분이 가능하므로 하한항으로 표현되지 않은 유리수이다.
    • 하한항(Lowest; 기약 분수) : 1 이외의 공약수가 존재하지 않는 분모와 분자
  • 반면, 이 유리수들을 분자와 분모의 최대 공약수로 분자와 분모를 약분하면 하한항으로 구성된 유리수가 된다.
    • 예) $\frac{1}{9}, \frac{1}{2}$

 

예

• $\frac{25}{70}$ 은 하한항으로 표현되지 않은 유리수이다. 분모 25와 분자 70의 공약수는 1과 5이기 때문이다. 최대 공약수인 5로 분모와 분자를 약분하여 하한항으로 표현하면 $\frac{5}{14}$ 와 같다.
• $\frac{7}{10}$ 은 하한항으로 표현된 유리수이다. 분모 10과 분자 70의 공약수는 1만 존재하기 때문이다.

 

무리수(Irrational Number : $\mathbb{I}$)

$a, b ∈ \mathbb{Z}$ 이고, $a ≠ 0$ 일 때 $\frac{b}{a}$ 로 표현할 수 없는 수

• 유리수 집합과 무리수 집합은 모두 실수 집합에 포함된다.
• 실수는 다음과 같이 소수점을 기준으로 정수부와 소수부로 구분하여 표현할 수 있다.

10진 실수 $123.4567_{10}$
123	.	4567
정수부	소수점	소수부

 

• 실수는 분수 형태($\frac{b}{a}, \quad a, b ∈ \mathbb{Z}, \quad a ≠ 0$)로 표현할 수 있으면 유리수, 그렇지 않으면 무리수로 구분한다.
• 유리수는 소수로 표현했을 때 ①소수부의 숫자가 유한하게 나열되거나 ②규칙성을 갖고 무한히 나열되는 형태로 나타나 분수로 표현 가능하다.
  • 예1) $\frac{3}{4} = 0.75$ (소수부가 유한하다.)
  • 예2) $\frac{1}{7} = 0.142857142857142857…$ (소수부에서 142857이 반복된다.)
  • 예3) $\sqrt{9} = 3$ (정수)
• 무리수는 소수부의 숫자가 규칙성 없이 무한히 나열되어 분수로 표현할 수 없다.
  • 예) $\sqrt{2} = 1.41213562373…$ (소수부의 숫자가 불규칙하게 나열되어 있다.)

 

예

• $\frac{5}{7} = 0.714285714285…$ 는 유리수이다.
• $\sqrt{11} = 3.3166247903…$ 으로 무리수이다.

 

실수(Real Number: $\mathbb{R}$)

$r ∈ \mathbb{R}, a_{i} ∈ \mathbb{Z}, b ∈ \mathbb{N}$ 이고 $b > 1, 0 ≤ a_{i} < b$ ($a_{i}$ : 실수 `r`을 구성하는 `i`번째 숫자, $i ∈ \mathbb{Z}$) 일 때, 

$$r = a_{k}b^{k} + a_{k-1}b^{k-1} + … + a_{1}b^{1} + a_{0}b^{0} + a_{-1}b^{-1} + a_{-2}b^{-2} + … \quad \text(b : 기수, \; k : 자릿수)$$

• 유리수와 무리수를 모두 포함하는 수 체계
• 소수점을 기준으로 정수부와 실수부로 표현

 

예

• $34.8125_{10} = 3 × 10^{1} + 4 × 10^{0} + 8 × 10^{-1} + 1 × 10^{-2} + 2 × 10^{-3} + 5 × 10^{-4}$

 

허수 단위(Imaginary Unit)

$i^{2} = -1$ 을 만족하는 수 $i$

• 제곱하여 음수가 되는 실수는 없다.
• 그러나 물리학, 전자 공학 등에서는 제곱했을 때 0보다 작은 값이 되는 가상의 수가 필요한 경우가 있어, 이러한 허수 개념을 다양한 방정식에 적용하기도 한다.

 

복소수(Complex Number: $\mathbb{C}$)

$$c = a + bi \quad (a, b ∈ \mathbb{R}, c ∈ \mathbb{C})$$

$c$ : 복소수
$a$ : 실수부
$bi$ : 허수부

• 실수와 허수를 모두 포함하는 수 체계
• $b = 0$ 이면 실수, $b ≠ 0$ 이면 허수(Imaginary Number)

 

복소수의 사칙 연산 ($a, b, c, d ∈ \mathbb{R}$)

• 덧셈 : $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
• 뺄셈 : $(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$
• 곱셈 : $(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^{2} = (ac - bd) + (ad + bc)i$
• 나눗셈 : $\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{ac - adi + bci + bd}{c^{2} -cdi + cdi + d^{2}} = \left( \frac{ac + bd}{c^{2} + d^{2}} \right) + \left( \frac{bc - ad}{c^{2} + d^{2}} \right)i \quad (\text{단}, c+di ≠ 0)$

 

예

• $3 + 6i + 12i = 3 + 18i$
• $3 + 6i - 12i = 3 - 6i$
• $(3 + 6i) × 12i = -72 + 36i$
• $\frac{3 + 6i}{12i} = \frac{72}{144} + \frac{-36}{144}i = \frac{2-i}{4}$
  • 분모와 분자에 $-12i$ 를 곱해준다.