[BOJ-1904][C++] 01타일

문제

지원이에게 2진 수열을 가르쳐 주기 위해, 지원이 아버지는 그에게 타일들을 선물해주셨다. 그리고 이 각각의 타일들은 0 또는 1이 쓰여 있는 낱장의 타일들이다.

어느 날 짓궂은 동주가 지원이의 공부를 방해하기 위해 0이 쓰여진 낱장의 타일들을 붙여서 한 쌍으로 이루어진 00 타일들을 만들었다. 결국 현재 1 하나만으로 이루어진 타일 또는 0타일을 두 개 붙인 한 쌍의 00타일들만이 남게 되었다.

그러므로 지원이는 타일로 더 이상 크기가 N인 모든 2진 수열을 만들 수 없게 되었다. 예를 들어, N=1일 때 1만 만들 수 있고, N=2일 때는 00, 11을 만들 수 있다. (01, 10은 만들 수 없게 되었다.) 또한 N=4일 때는 0011, 0000, 1001, 1100, 1111 등 총 5개의 2진 수열을 만들 수 있다.

우리의 목표는 N이 주어졌을 때 지원이가 만들 수 있는 모든 가짓수를 세는 것이다. 단 타일들은 무한히 많은 것으로 가정하자.

 

입력

첫 번째 줄에 자연수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000,000)

 

출력

첫 번째 줄에 지원이가 만들 수 있는 길이가 N인 모든 2진 수열의 개수를 15746으로 나눈 나머지를 출력한다.

 

예제 입력 1 

4

 

예제 출력 1

5

 

 

알고리즘 분류

• 다이나믹 프로그래밍

 

문제 출처

https://www.acmicpc.net/problem/1904

1904번: 01타일

 

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문제 해결 방법

• 다이나믹 프로그래밍으로 문제를 풀기 위하여 필요한 점화식을 우선 구한 후, DP 테이블에 채운 후, DP 테이블에서 해당 인덱스의 값을 출력하도록 하는 방식으로 문제를 해결하였다.

 

점화식 구하기

• @N@ 에 1부터 5까지의 수를 넣어본 후, 출력값을 분석해보면 다음과 같다.
• 문제에서 @1@ 또는 @00@ 타일만 사용 가능하다고 조건으로 제시되어 있다. 따라서 될 수 있는 경우와 될 수 없는 경우는 다음과 같다.
  • 될 수 있는 경우 : @0011@, @1001@, @0000@, @1111@, @1@, @11@, @00@, @001@
  • 될 수 없는 경우 : @0110@, @011@, @101@, @0@, @000@
• 이것을 토대로 테이블을 만들어보면 다음과 같다.

N	경우	출력값(@dp[N]@)
1	{ 1 }	1
2	{ 00, 11 }	2
3	{ 100, 001, 111 }	3
4	{ 0000, 0011, 1001, 1100, 1111}	5
5	{ 00001, 00100, 10000, 11100, 11001, 10011, 00111, 11111 }	8

• @dp[1] = 1@, @dp[2] = 2@, @dp[3] = dp[1]+ dp[2]@, @dp[4] = dp[2] + dp[3]@, $\cdots$
• 따라서 다음과 같은 점화식을 도출할 수 있다는 것을 알 수 있다.

$$dp[N] = dp[N - 2] + dp[N - 1]$$

• 참고로, 위의 점화식은 피보나치 수열(Fibonacci Sequence)의 점화식이다. (관련 내용)

 

점화식을 토대로 구현하기

• 위에서 주어진 점화식 $dp[N] = dp[N - 2] + dp[N - 1]$ 을 코드로 구현하면 다음과 같다.
• 문제에서 15746(@DIV@)로 나눈 나머지를 출력하라는 조건이 있었으므로, @DIV@ 로 나눈 수를 @dp[1]@ 부터 @dp[n]@ 까지 DP 테이블에 하나하나씩 채워나간 후, @dp[n]@  의 값을 반환하도록 한다.

// f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)
int Calc(int n) {
    dp[1] = 1 % DIV;
    dp[2] = 2 % DIV;

    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = (dp[i - 1] + dp[i - 2]) % DIV;
    }

    return dp[n];
}

 

• DP 테이블은 다음과 같이 벡터(Vector)를 이용하여 구현하였으며, 벡터의 크기는 입력 받은 값(@N@)보다 1 큰 수로 설정하도록 하였다. (@dp[1]@ 부터 테이블이 채워지도록 하였다.)

vector<int> dp;

void Input() {
    cin >> N;
    dp.resize(N + 1);
}

 

코드

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

#define DIV 15746

int N;
vector<int> dp;

void Input() {
    cin >> N;
    dp.resize(n + 1);
}

// f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)
int Calc(int n) {
    dp[1] = 1 % DIV;
    dp[2] = 2 % DIV;

    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = (dp[i - 1] + dp[i - 2]) % DIV;
    }

    return dp[n];
}

void Output() {
    cout << Calc(N) << '\n';
}

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);

    Input();
    Output();

    return 0;
}

 

채점 결과

 

참고

• [단계별로 풀어보기] > [동적 계획법 1]
• 실버III