[BOJ-24060][C++] 알고리즘 수업 - 병합 정렬 1

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2022. 11. 2. 21:04

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문제

오늘도 서준이는 병합 정렬 수업 조교를 하고 있다. 아빠가 수업한 내용을 학생들이 잘 이해했는지 문제를 통해서 확인해보자.

N개의 서로 다른 양의 정수가 저장된 배열 A가 있다. 병합 정렬로 배열 A를 오름차순 정렬할 경우 배열 A에 K 번째 저장되는 수를 구해서 우리 서준이를 도와주자.

크기가 N인 배열에 대한 병합 정렬 의사 코드는 다음과 같다.

merge_sort(A[p..r]) { # A[p..r]을 오름차순 정렬한다.
    if (p < r) then {
        q <- ⌊(p + r) / 2⌋;       # q는 p, r의 중간 지점
        merge_sort(A, p, q);      # 전반부 정렬
        merge_sort(A, q + 1, r);  # 후반부 정렬
        merge(A, p, q, r);        # 병합
    }
}

# A[p..q]와 A[q+1..r]을 병합하여 A[p..r]을 오름차순 정렬된 상태로 만든다.
# A[p..q]와 A[q+1..r]은 이미 오름차순으로 정렬되어 있다.
merge(A[], p, q, r) {
    i <- p; j <- q + 1; t <- 1;
    while (i ≤ q and j ≤ r) {
        if (A[i] ≤ A[j])
        then tmp[t++] <- A[i++]; # tmp[t] <- A[i]; t++; i++;
        else tmp[t++] <- A[j++]; # tmp[t] <- A[j]; t++; j++;
    }
    while (i ≤ q)  # 왼쪽 배열 부분이 남은 경우
        tmp[t++] <- A[i++];
    while (j ≤ r)  # 오른쪽 배열 부분이 남은 경우
        tmp[t++] <- A[j++];
    i <- p; t <- 1;
    while (i ≤ r)  # 결과를 A[p..r]에 저장
        A[i++] <- tmp[t++]; 
}

입력

첫째 줄에 배열 A의 크기 N(5 ≤ N ≤ 500,000), 저장 횟수 K(1 ≤ K ≤ 108)가 주어진다.

다음 줄에 서로 다른 배열 A의 원소 $A_{1}, A_{2}, ..., A_{N}$이 주어진다. ($1 ≤ A_{i} ≤ 10^{9}$)

출력

배열 A에 K 번째 저장 되는 수를 출력한다. 저장 횟수가 K 보다 작으면 -1을 출력한다.

예제 입력 1

5 7
4 5 1 3 2

예제 출력 1

4 5 1 3 2 -> 4 5 1 3 2 -> 4 5 1 3 2 -> 1 5 1 3 2 -> 1 4 1 3 2 -> 1 4 5 3 2 -> 1 4 5 2 2 -> 1 4 5 2 3 -> 1 4 5 2 3 -> 1 2 5 2 3 -> 1 2 3 2 3 -> 1 2 3 4 3 -> 1 2 3 4 5. 총 12회 저장이 발생하고 일곱 번째 저장되는 수는 3이다.

예제 입력 2

5 13
4 5 1 3 2

예제 출력 2

-1

저장 횟수 12가 K 보다 작으므로 -1을 출력한다.

알고리즘 분류

구현
정렬
재귀

문제 출처

https://www.acmicpc.net/problem/24060

24060번: 알고리즘 수업 - 병합 정렬 1

첫째 줄에 배열 A의 크기 N(5 ≤ N ≤ 500,000), 저장 횟수 K(1 ≤ K ≤ 108)가 주어진다. 다음 줄에 서로 다른 배열 A의 원소 A1, A2, ..., AN이 주어진다. (1 ≤ Ai ≤ 109)

www.acmicpc.net

문제 해결 방법

벡터(vector)를 이용하여 문제를 해결하려고 하였으나, 시간 초과 오류가 떴다. 그래서 1차원 배열과 동적 할당을 이용하여 문제를 해결하였다.
merge() 함수 안에 tmp 1차원 배열을 동적 할당하였으나, 메모리 초과 오류가 떴다. 그래서 main() 함수에서 nums 배열에 이어 tmp 배열을 동적 할당시켜 주었다.
- 재귀로 인해 merge() 함수가 여러번 호출됨과 동시에 동적 할당이 발생하여 메모리 초과 오류가 나오는 듯 했다.
merge() 함수의 마지막 while 문 부분에서 배열 ary에 변수가 최종적으로 저장된다. while 문이 한 번씩 반복할 때 마다 cnt 값을 하나씩 증가시켜주고, 입력 받은 K와 cnt 값이 같을 경우(cnt == K) 배열 ary에 저장된 요소(ary[i - 1])가 출력되도록 하였다.
- 그렇지 않을 경우 -1이 출력되도록 하였다.

코드

#include <iostream>
using namespace std;

int A, K, num, cnt, *nums, *tmp, answer = -1;

// A[p..q]와 A[q+1..r]을 병합하여 A[p..r]을 오름차순 정렬된 상태로 만든다.
// A[p..q]와 A[q+1..r]은 이미 오름차순으로 정렬되어 있다.
void merge(int *ary, int p, int q, int r) {
    int i, j, t;

    i = p;
    j = q + 1;
    t = 1;

    while (i <= q && j <= r) {
        if (ary[i] <= ary[j]) {
            tmp[t++] = ary[i++];    // tmp[t] = A[i]; t++; i++;
        }
        else {
            tmp[t++] = ary[j++];    // tmp[t] = A[j]; t++; j++;
        }
    }
    while (i <= q) {    // 왼쪽 배열 부분이 남은 경우
        tmp[t++] = ary[i++];
    }
    while (j <= r) {
        tmp[t++] = ary[j++];    // 오른쪽 배열 부분이 남은 경우
    }

    i = p;
    t = 1;

    while (i <= r) {    // 결과를 A[p..r]에 저장
        ary[i++] = tmp[t++];
        cnt++;
        if (cnt == K) {
            answer = ary[i - 1];
            break;
        }
    }
}

void merge_sort(int *ary, int p, int r) {
    if (p < r) {
        int q = (p + r) / 2;     // q는 p, r의 중간 지점 (내림)
        merge_sort(ary, p, q);    // 전반부 정렬
        merge_sort(ary, q + 1, r);    // 후반부 정렬
        merge(ary, p, q, r);    // 병합
        
    }
}

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);

    cin >> A >> K;

    nums = new int[A];    // 벡터를 이용하여 문제를 풀 경우 시간 초과 오류 발생
    tmp = new int[A];    // merge() 함수 내부에서 동적 할당을 할 경우, '메모리 초과' 오류 발생

    for (int i = 0; i < A; i++) {
        cin >> num;
        nums[i] = num;
    }
    
    merge_sort(nums, 0, A - 1);

    cout << answer << '\n';

    delete[] nums;
    delete[] tmp;

    return 0;
}

채점 결과

참고

[단계별로 풀어보기] > [재귀]
실버IV

병합/합병 정렬(Merge Sort)

안정된 정렬(Stable Sort) 방법에 속하며, 분할 정복(Divide and Conquer) 알고리즘의 하나이다.
존 폰 노이만(John von Neumann)이 제안한 방법

작동 과정

다음과 같은 과정에 의해 병합 정렬이 수행된다.
- 분할(Divide) : 입력 배열을 같은 크기의 2개의 부분 배열로 분할한다.
- 정복(Conquer) : 부분 배열을 정렬한다. 부분 배열의 크기가 충분히 작지 않으면 재귀 호출을 이용하여 다시 분할 정복 방법을 적용한다.
- 결합(Combine) : 정렬된 부분 배열들을 하나의 배열에 병합한다.

(i) 리스트의 길이가 0 또는 1이면 이미 정렬된 것으로 본다. 그렇지 않은 경우에는
(ii) 정렬되지 않은 리스트를 절반으로 잘라 비슷한 크기의 두 부분 리스트로 나눈다.
(iii) 각 부분 리스트를 재귀적으로 병합 정렬을 이용해 정렬한다.
(iv) 두 부분 리스트를 다시 하나의 정렬된 리스트로 병합한다.

특징

병합 정렬을 위해서는 추가적인 리스트가 필요하다.
각 부분 배열을 정렬할 때도 병합 정렬을 재귀적으로 호출하여 적용한다.
병합 정렬에서 실제로 정렬이 이루어지는 시점은 2개의 리스트를 병합하는 단계이다.

장점

데이터의 분포에 영향을 덜 받아 안정적인 정렬을 수행할 수 있다.
- 입력 데이터가 무엇이든 간에 정렬되는 시간은 동일하다. ($O(n \log_{2} n)$)
레코드를 연결 리스트(Linked List)로 구성하면, 링크 인덱스만 변경되므로 데이터의 이동은 무시할 수 있을 정도로 작아진다.
- 제자리 정렬(In-Place Sorting)로 구현할 수 있다.
- 크기가 큰 레코드를 정렬할 경우, 연결 리스트를 사용할 경우 병합 정렬은 퀵 정렬을 포함한 어떤 정렬 방법보다도 효과적이다.

단점

제자리 정렬(In-Place Sorting)이 아니다. 레코드를 배열(Array)로 구성하면, 임시 배열이 필요하다.
레코드들의 크기가 큰 경우, 이동 횟수가 많으므로 시간이 크게 낭비될 수 있다.

알고리즘

int tmp[MAX_SIZE];    // 추가적인 공간 필요

void merge(int list[], int left, int mid, int right) {
    int i, j, k, l;
    
    i = left;       // 정렬된 왼쪽 리스트에 대한 인덱스
    j = mid + 1;    // 정렬된 오른쪽 리스트에 대한 인덱스
    k = left;       // 정렬된 리스트에 대한 인덱스
    
    // 분할 정렬된 리스트의 병합
    while (i <= mid && j <= right) {
        if (list[i] <= list[j]) {
            tmp[k++] = list[i++];
        }
        else {
            tmp[k++] = list[j++];
        }
    }
    
    // 남아 있는 값들을 복사
    if (i > mid) {
        for (int l = j; l <= right; l++) {
            tmp[k++] = list[l];
        }
    }
    else {
        for (int l = i; l <= mid; l++) {
            tmp[k++] = list[l];
        }
    }
    
    // 임시 배열의 리스트를 원래 배열로 다시 복사
    for (int l = left; l <= right; l++) {
        list[l] = tmp[l];
    }
}

void merge_sort(int list[], int left, int right) {
    if (left < right) {
        int mid = (left + right) / 2;    // 중간 위치를 계산하여 리스트를 균등 분할 - 분할(Division)
        merge_sort(list, left, mid);     // 앞쪽 부분 리스트 정렬 - 정복(Conquer)
        merge_sort(list, mid + 1, right);     // 뒤쪽 부분 리스트 정렬 - 정복(Conquer)
        merge(list, left, mid, right);    // 정렬된 2개의 부분 배열 병합 - 결합(Combine)
    }
}

사용 예

#include <iostream>
using namespace std;

#define MAX_SIZE 8

int tmp[MAX_SIZE];    // 추가적인 공간 필요

void merge(int list[], int left, int mid, int right) {
    int i, j, k, l;
    
    i = left;       // 정렬된 왼쪽 리스트에 대한 인덱스
    j = mid + 1;    // 정렬된 오른쪽 리스트에 대한 인덱스
    k = left;       // 정렬된 리스트에 대한 인덱스
    
    // 분할 정렬된 리스트의 병합
    while (i <= mid && j <= right) {
        if (list[i] <= list[j]) {
            tmp[k++] = list[i++];
        }
        else {
            tmp[k++] = list[j++];
        }
    }
    
    // 남아 있는 값들을 복사
    if (i > mid) {
        for (int l = j; l <= right; l++) {
            tmp[k++] = list[l];
        }
    }
    else {
        for (int l = i; l <= mid; l++) {
            tmp[k++] = list[l];
        }
    }
    
    // 임시 배열의 리스트를 원래 배열로 다시 복사
    for (int l = left; l <= right; l++) {
        list[l] = tmp[l];
    }
}

void merge_sort(int list[], int left, int right) {
    if (left < right) {
        int mid = (left + right) / 2;    // 중간 위치를 계산하여 리스트를 균등 분할 - 분할(Division)
        merge_sort(list, left, mid);     // 앞쪽 부분 리스트 정렬 - 정복(Conquer)
        merge_sort(list, mid + 1, right);     // 뒤쪽 부분 리스트 정렬 - 정복(Conquer)
        merge(list, left, mid, right);    // 정렬된 2개의 부분 배열 병합 - 결합(Combine)
    }
}


int main() {
    int i, list[MAX_SIZE] = { 38, 22, 11, 40, 93, 77, 13, 95 };
    
    cout << "정렬 전 : ";
    for (int i = 0; i < MAX_SIZE; i++) {
        cout << list[i] << " ";
    }
    
    cout << endl;
    
    cout << "정렬 후 : ";
    merge_sort(list, 0, MAX_SIZE - 1);
    
    for (int i = 0; i < MAX_SIZE; i++) {
        cout << list[i] << " ";
    }
    
    return 0;
}

정렬 전 : 38 22 11 40 93 77 13 95 
정렬 후 : 11 13 22 38 40 77 93 95

참고 사이트

https://gmlwjd9405.github.io/2018/05/08/algorithm-merge-sort.html

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