[확률과 통계] 위치 척도와 상자 그림

위치 척도와 상자 그림

• 두 집단의 평균의 차이가 극심한 경우에는 표준 편차보다 상대적인 척도인 변동 계수를 사용한다.
• 그러나 두 집단의 평균을 일치시키고, 절대적인 수치로 주어진 자료값을 상대적인 위치로 변환할 수 있다.
  • 중앙값은 가장 중앙에 놓이는 자료값이므로 자료값을 크기 순으로 나열하여 50% 위치에 놓이게 된다.
  • 이 때 수집한 자료를 크기 순서로 나열하여 백등분하는 위치 또는 사등분하는 위치를 나타내는 백분위수와 사분위수를 구할 수 있다.
    • 사분위수를 이용하면 특이값의 존재 여부를 명확하게 알 수 있다.

 

`z`-점수(`z`-Score) ; 표준 점수(Standardized Score)

각 자료의 측정값과 평균과의 편차를 표준 편차로 나눈 수치

• 자료 집단을 구성하는 개개의 자료값을 평균을 중심으로 한 상대적인 위치로 변환시킨 자료를 생각할 수 있다.
  • 이와 같이 변환시킴으로써 평균이 크게 차이나는 두 집단을 상대적으로 동일하게 비교할 수 있다.
    • 예) 대학수학능력시험에 대해 개개인의 원점수를 평균을 중심으로 한 상대적인 위치로 변환시킨 점수가 표준 점수이다.
• `z`-점수는 다음과 같이 구한다.

모집단의 `z`-점수 : $\displaystyle z_{i} = \frac{x_{i} - μ}{σ}$    (`μ` : 모평균, `σ` : 모 표준 편차)
표본의 `z`-점수 : $\displaystyle z_{i} = \frac{x_{i} - \overline{x}}{s}$    ($\overline{x}$ : 표본 평균, `s` : 표본 표준 편차)

 

• 이러한 `z`-점수는 자료 집단의 평균을 0으로 변환시키고, 평균을 중심으로 각 자료값의 절대 위치를 상대적인 위치로 변환한 값을 나타낸다.

 

예 : 두 표본 A [4 9 3 5 7] 과 표본 B [400 900 300 500 700] 

• 두 표본 각각의 평균을 구하면 $\overline{x}_{A} = 5.6$ 이고, $\overline{x}_{B} = 560$ 으로, 두 표본을 동일한 점도표로 나타내면 비교가 되지 않는다.
• 하지만, `z`-점수를 이용하여 각 자료값의 상대적인 위치로 변환하면 다음과 같이 동일한 것을 알 수 있다.

z-점수에 의한 자료 집단의 비교

 

예 : 두 표본 A [171 164 167 156 159 164], B [11.5 12.2 12.0 12.4 13.6 10.5]에 대해 다음을 구하여라.

(a) 표본 A와 표본 B의 `z`-점수

(b) `z`-점수에 대한 점도표

(c) 변동 계수의 결과와 비교하기

두 표본 A와 B의 평균을 $\overline{x}, \overline{y}$ 라 하고, 표준 편차를 $s_{A}, s_{B}$ 라 하면,

$\displaystyle \overline{x} = \frac{171 + 164 + 167 + 156 + 159 + 164}{6} = 163.5$
$\displaystyle \overline{y} = \frac{11.5 + 12.2 + 12 + 12.4 + 13.6 + 10.5}{6} ≒ 12$
$\displaystyle s^{2}_{A} = \frac{1}{5} \sum(x - 163.5)^{2} = 29.1$
$\displaystyle s_{A} = \sqrt{29.1} ≒ 5.39$
$\displaystyle s^{2}_{B} = \frac{1}{5} \sum(x - 12)^{2} = 1.052$ 
$\displaystyle s_{B} = \sqrt{1.052} ≒ 1.026$

이다. 두 표본의 변동 계수를 구하면 각각 다음과 같다.

$\displaystyle C.V_{A} = \frac{5.39}{163.5} ≒ 0.033, \quad C.V_{B} = \frac{1.026}{12} ≒ 0.0855$

(a)
$\overline{x} = 163.5, \; \overline{y} = 12, \; s_{A} = 5.39, \; s_{B} = 1.026$ 이다.
표본 A의 각 자료값에 $\displaystyle z_{i} = \frac{x_{i} - 163.5}{5.39}$ 를 이용하면 다음을 얻는다.

자료값	171	164	167	156	159	164
`z`-점수	1.39	0.09	0.65	-1.39	-0.83	0.09

표본 B의 각 자료값에 $\displaystyle z_{i} = \frac{y_{i} - 12}{1.026}$ 를 이용하면 다음을 얻는다.

자료값	11.5	12.2	12.0	12.4	13.6	10.5
`z`-점수	-0.49	0.19	0.00	0.39	1.56	-1.46

(b)
두 표본의 `z`-점수에 대한 점도표를 그리면 다음과 같다.

(c)
변동 계수에 의한 결과와 동일하게, 표본 B가 표본 A에 비해 상대적으로 넓게 분포한다.

 

백분위수(Percentile)와 사분위수(Quartiles)

- 백분위수(Percentile) : 수집한 자료를 크기순으로 나열할 때, 1% 씩 등간격으로 구분하는 척도 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{99}$
- 사분위수(Quartiles) : 수집한 자료를 크기순으로 나열하여 4등분하는 척도 $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$

• 수집한 자료를 크기순으로 나열하여 백등분하는 위치를 나타내는 척도와 사등분하는 위치를 나타내는 척도를 이용하는 경우가 종종 있다.
  • 예) 대학수학능력시험에 대한 개개인의 원점수와 백분위 점수
    
    • 백분위 점수는 전체 시험 응시자의 원점수를 백등분한 점수를 의미한다.
• 사분위수는 전체 자료를 4등분하는 척도이므로, 다음의 백분위수와 같다.
  • 제1 사분위수 `Q_{1}` = 제25 백분위수 `P_{25}`
  • 제2 사분위수 `Q_{2}` = 제50 백분위수 `P_{50}` = 중앙값 `M_{e}`
  • 제3 사분위수 `Q_{3}` = 제75 백분위수 `P_{75}` 

 

백분위수 구하기

• `n` 개의 자료로 구성된 자료 집단의 `k`-백분위수 `P_{k}` 는 다음과 같은 순서로 구한다.

① 자료값을 가장 작은 수부터 크기순으로 재배열한다.
② $\displaystyle m = \frac{kn}{100}$ 을 계산한다.
③ 이때 `m` 이 정수인지 아닌지에 따라 `P_{k}` 를 다음과 같이 구한다.
- `m` 이 정수이면, `P_{k}` 는 다음과 같이 `m` 번째와 `m + 1` 번째 위치하는 자료값의 평균이다.

$\displaystyle P_{k} = \frac{x_{(m)} + x_{(m + 1)}}{2}$

- `m` 이 정수가 아니면, `P_{k}` 는 `m` 보다 큰 정수에서 가장 작은 정수에 해당하는 위치의 자료값이다.

 

예제 : 다음 표본에 대한 사분위수를 구하라.

26	31	27	38	42	26	18	17	25	29
39	38	38	40	46	38	39	41	41	40
26	19	39	28	45	34	21	41	30	30
12	22	48	34	29	26	29	58	43	16
42	44	38	44	28	43	39	42	39	46

표본을 다음과 같이 크기순으로 재배열한다.

12	16	17	18	19	21	22	25	26	26
26	26	27	28	28	29	29	29	30	30
31	34	34	38	38	38	38	38	39	39
39	39	39	40	40	41	41	41	42	42
42	43	43	44	44	45	46	46	48	58

 

`n = 50` 이고 사분위수의 위치는 각각 `k = 25, 50, 75` 이므로 사분위수를 구하면 다음과 같다.

 

제1 사분위수 : $\displaystyle m = \frac{50 × 25}{100} = 12.5 \Rightarrow Q_{1} = P_{25} = x_{13} = 27$

제2 사분위수 : $\displaystyle m = \frac{50 × 50}{100} = 25 \Rightarrow Q_{2} = P_{50} = \frac{x_{(25)} + x_{(26)}}{2} = \frac{38 + 38}{2} = 38$

제3 사분위수 : $\displaystyle m = \frac{50 × 75}{100} = 37.5 \Rightarrow Q_{3} = P_{75} = x_{38} = 41$

 

상자 그림(Box Plot)

사분위수 범위(Interquartile Range; I.Q.R)

수집한 자료의 제1 사분위수와 제3 사분위수인 `Q_{1}` 과 `Q_{3}` 사이의 범위를 의미하며 `I.Q.R` 로 표현한다.

$I.Q.R = Q_{3} - Q_{1}$

• 대푯값으로 중앙값을 사용하는 경우에 특이값의 영향을 받지 않는 범위로 사분위수 범위를 많이 사용한다.
• 사분위수 범위는 아래쪽과 위쪽으로부터 각각 25%의 자료를 제거한 범위이므로 특이값의 영향을 전혀 받지 않는다.

 

예제 : <백분위수 구하기> 예제의 자료에 대한 사분위수 범위를 구하라.

$Q_{1} = 27, \; Q_{3} = 41$ 을 구했으므로, 사분위수 범위는 다음과 같다.

$I.Q.R = 41 - 27 = 14$

 

상자 그림(Box Plot)

사분위수를 이용하여 수집한 자료에 포함된 특이값을 알려주는 그림

• 사분위수를 이용하면 수집한 자료 집단의 중심부 50% 안에 놓이는 자료의 분포 모양과 꼬리 부분의 상태를 비롯하여 특이값을 나타내는 상자 그림을 그릴 수 있다.

 

상자 그림의 특징

• 상자 그림은 대푯값으로 중앙값을 사용하며, 다음과 같은 특징을 갖는다.

① 특이값에 대한 정보를 제공한다.
② 자료의 중심 위치와 흩어진 모양, 그리고 분포의 꼬리 부분을 쉽게 파악할 수 있다.
③ 상자 그림은 2개 이상의 자료 집단을 비교할 때 매우 유용하다.

 

용어 정리

• 안 울타리(Inner Fence)
  • 사분위수 `Q_{1}` 과 `Q_{3}` 에서 각각 $1.5 × I.Q.R$ 만큼 떨어져 있는 값
  • 아래쪽 안 울타리(Lower Inner Fence) : $f_{l} = Q_{1} - 1.5 × I.Q.R$
  • 위쪽 안 울타리(Upper Inner Fence) : $f_{u} = Q_{3} + 1.5 × I.Q.R$
• 바깥 울타리(Outer Fence)
  • 사분위수 `Q_{1}` 과 `Q_{3}` 에서 각각 $3 × I.Q.R$ 만큼 떨어져 있는 값
  • 아래쪽 바깥 울타리(Lower Outer Fence) : $f_{L} = Q_{1} - 3 × I.Q.R$
  • 위쪽 바깥 울타리(Upper Outer Fence) : $f_{U} = Q_{3} + 3 × I.Q.R$
• 인접값(Adjacent Value)
  • 안 울타리 안에 놓이는 가장 극단적인 자료값
  • 아래쪽 안 울타리보다 큰 자료값 중에서 가장 작은 자료값
  • 위쪽 안 울타리보다 작은 자료값 중에서 가장 큰 자료값
• 보통 특이값(Mild Outlier)
  • 안 울타리와 바깥 울타리 사이에 놓이는 자료값
• 특이값(Extreme Outlier)
  • 바깥 울타리 외부에 놓이는 자료값

 

상자 그림 그리기

• 상자 그림은 다음 순서에 따라 그린다.

① 자료를 크기순으로 나열하여 사분위수 `Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}` 를 구한다.
② 사분위수 범위 $I.Q.R = Q_{3} - Q_{1}$ 을 구한다.
③ `Q_{1}` 에서 `Q_{3}` 까지 직사각형 모양의 상자를 그리고, 중위수 `Q_{2}` 위치인 상자 안에 수직선을 긋는다.
④ 안 울타리를 구하고 인접값에 기호 '|' 로 표시한 후, 각각 `Q_{1}` 과 `Q_{3}` 으로부터 인접값까지 선분으로 연결하여 상자 그림의 날개 부분을 작성한다.
⑤ 바깥 울타리를 구하여 관측 가능한 보통 특이값의 위치에 '○', 특이값의 위치에 'x' 로 표시한다.

• 이러한 순서에 따라 상자 그림을 그리면 다음을 얻는다.

상자 그림

• 이 그림으로부터 다음 사실을 쉽게 알 수 있다.

- 중앙값을 중심으로 중심부 50% 자료는 대칭성을 갖는다.
- 아래쪽 날개 부분이 위쪽보다 짧다. 즉 자료의 분포에서 아래쪽 꼬리 부분보다 위쪽 꼬리 부분이 길게 분포한다.
- 측정 가능한 보통 특이값이 3개이고, 특성값이 3개 있다.