[이산 수학] 수의 연산

수의 연산

연산의 성질

• 수를 연산한 결과는 수의 체계와 연산자의 종류에 따라 결정된다.
• 연산에 피연산자로 사용한 수, 그리고 연산 결과로 나오는 수의 체계와 관계는 닫힘 성질로 정의할 수 있다.

 

닫힘 성질

수 체계 `S` 에 속하는 어떤 수 `a, b` 를 연산자 `O` 로 연산한 결과가 `S` 에 속하면 '수 체계 `S` 는 연산자 `O` 에 대해 닫혀 있다(Closed)'고 하고, 그렇지 않으면 '수 체계 `S` 는 연산자 `O` 에 대해 닫혀 있지 않다'고 한다.

 

수 체계별 사칙 연산의 닫힘 성질

• 유리수와 무리수의 닫힘 성질은 정반대이다.
• 무리수의 닫힘 성질 증명 예
  • 덧셈 : $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$
  • 뺄셈 : $\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$
  • 곱셈 : $\sqrt{2} × \sqrt{2} = 2$
  • 나눗셈 : $\sqrt{2} ÷ \sqrt{2} = 1$

	덧셈	뺄셈	곱셈	나눗셈
자연수 $\mathbb{N}$	O	X	O	X
정수 $\mathbb{Z}$	O	O	O	X
유리수 $\mathbb{Q}$	O	O	O	O
무리수 $\mathbb{I}$	X	X	X	X
실수 $\mathbb{R}$	O	O	O	O
복소수 $\mathbb{C}$	O	O	O	O

 

• 무리수($\mathbb{I}$)를 제외한 모든 수 체계가 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있다.

 

합(덧셈)과 곱(곱셈)의 연산 법칙

$a, b, c \notin \mathbb{I}$ 일 때,

① 교환 법칙(Commutative Law) : $a + b = b + a, \quad ab = ba$
② 결합 법칙(Associative Law) : $(a + b) + c = a + (b + c), \quad (ab)c = a(bc)$ 
③ 분배 법칙(Distributive Law) : $a(b + c) = ab + ac$

 

• 또한, 합과 곱에 대해서는 항등원과 역원이 존재한다.

 

항등원(Identity Element)

$a, b \notin \mathbb{I}$ 이고, `a, b` 가 연산자 `O` 에 대해 닫혀 있을 때, 모든 수 `a` 에 대하여 $a \; O \; b = b \; O \; a = a$ 를 만족하는 `b`

① 합에 대한 항등원 : 0
② 곱에 대한 항등원 : 1

 

• 항등원은 임의의 수 `a` 와 연산했을 때 결과가 그대로 `a` 가 나오게 만드는 수로, `a + 0 = 0 + a = a` 이므로 합에 대한 항등원은 `0` 이고, $a · 1 = 1 · a = a$ 이므로 곱에 대한 항등원은 1이다.

 

역원(Inverse Element)

$a, b, c \notin \mathbb{I}$ 이고, `a, b` 가 연산자 `O` 에 대해 닫혀 있으면서 `c` 가 연산자 `O` 에 대한 항등원일 때, $a \; O \; b = b \; O \; a = c$ 를 만족하는 `b`

① `a` 의 합에 대한 역원 : $-a$
② `a` 의 곱에 대한 역원 : $\frac{1}{a}$ (단, $a ≠ 0$)

 

• 역원은 어떤 수 `a` 와 연산했을 때 항등원이 나오게 만드는 수로, `a + (-a) = (-a) + a = 0` 이므로 `a` 의 합에 대한 역원은 `-a` 이고, $a · \frac{1}{a} = \frac{1}{a} · a = 1$ 이므로, `a` 의 곱에 대한 역원은 $\frac{1}{a}$ 이다.

 

합 연산 $\sum$

• 일정한 규칙이 있는 수열의 합
• 합 연산을 시그마(Sigma)라고 한다.

$$\sum^{n}_{i=1}a_{i} = a_{1} + a_{2} + … + a_{n-1} + a_{n} \quad (i : \text{합의 색인})$$

 

합 연산의 규칙

`c` 는 상수, $x_{i}, y_{i} ∈ \mathbb{R}, \; k, n ∈ \mathbb{N}$ 일 때,

(a) $\sum\limits^{n}_{i=1}c = nc$

(b) $\sum\limits^{n}_{i=1}cx_{i} = c\sum\limits^{n}_{i=1}x_{i}$

(c) $\sum\limits^{n}_{i=1}(x_{i} + y_{i}) = \sum\limits^{n}_{i=1}x_{i} + \sum\limits^{n}_{i=1}y_{i}$

(d) $\sum\limits^{n}_{i=1}x_{i} = \sum\limits^{k}_{i=1}x_{i} + \sum\limits^{n}_{i=k+1}x_{i}$ (단, $1 ≤ k < n$)

 

곱 연산 : $\prod$

• 일정한 규칙이 있는 수열의 곱
• 곱 연산을 프로덕트(Product)라고 한다.

$$\prod\limits^{n}_{i=1}a_{i} = a_{1} × a_{2} × … × a_{n-1} × a_{n} \quad (i : \text{곱의 색인})$$

 

곱 연산의 규칙

`c` 는 상수, $x_{i}, y_{i} ∈ \mathbb{R}, \; k, n ∈ \mathbb{N}$ 일 때,

(a) $\prod\limits^{n}_{i=1}c = c^{n}$

(b) $\prod\limits^{n}_{i=1}x_{i}y_{i} = \prod\limits^{n}_{i=1}x_{i} × \prod\limits^{n}_{i=1}y_{i}$

(c) $\prod\limits^{n}_{i=1}x_{i} = \prod\limits^{k}_{i=1}x_{i} × \prod\limits^{n}_{i=k+1}x_{i}$ (단, $1 ≤ k < n$)

 

팩토리얼(Factorial, $!$) / 계승

• $n ∈ \mathbb{N}$ 일 때, 1부터 `n` 까지 1씩 증가하는 수열의 곱 (단, $0! = 1$)
• 팩토리얼 연산에 사용되는 수는 1보다 크거나 같은 자연수이지만, 연산식에 따라 `0!` 을 계산할 수 있도록 `0!` 을 `1` 로 정의한다.

$$n! = 1 × 2 × 3 × … × n = \prod\limits_{i=1}^{n}i$$

 

나누기 연산 : $\mid$

• 수를 나누면 몫(Quotient)과 나머지(Remainder)를 구할 수 있다.
• 이 때, 나머지가 0이면 '나누어 떨어진다'고 하고, 그렇지 않으면 '나누어 떨어지지 않는다'고 한다.

 

'나누어 떨어진다.'와 '나누어 떨어지지 않는다.'

정수 `n` 을 자연수 `d` 로 나누었을 때의 몫을 `q`, 나머지를 `r` 이라고 하면,

$$n = dq + r \quad (n, q ∈ \mathbb{Z}, d, r ∈ \mathbb{N}, 0 ≤ r < d)$$

(a) `r = 0` 일 때, `n` 은 `d` 로 나누어 떨어진다고 하고, $d \mid n$ 으로 표기한다.
(b) `r ≠ 0` 일 때, `n` 은 `d` 로 나누어 떨어지지 않는다고 하고, $d \nmid n$ 으로 표기한다.

 

'나누어 떨어진다'에 관한 정리

$a, b, c, d, m, n ∈ \mathbb{Z}$ 에 대하여,

(a) $d \mid m$ 이고 $d \mid n$ 이면, $d \mid (m ± n)$
(b) $d \mid m$ 이면, $d \mid mn$
(c) $a \mid b$ 이고 $b \mid c$ 이면, $a \mid c$

 

증명

(a)
$d \mid m$ 이면 $m = dk(k ∈ \mathbb{Z})$ 이고, $d \mid n$ 이면 $n = dl(l ∈ \mathbb{Z})$ 이다.
$m + n = dk + dl = d(k + l)$ 이므로, $m + n$ 은 $d$ 로 나누어 떨어진다.    $∴ d \mid (m + n)$
$m - n = dk - dl = d(k - l)$ 이므로, $m - n$ 은 $d$ 로 나누어 떨어진다.    $∴ d \mid (m - n)$

(b)
$d \mid m$ 이면, $m = dk(k ∈ \mathbb{Z})$ 이다.
$mn = dkn$ 이므로, $mn$ 은 $d$ 로 나누어 떨어진다.   
$∴ d \mid mn$

(c)
$a \mid b$ 이면 $b = ak(k ∈ \mathbb{Z})$ 이고, $b \mid c$ 이면 $c = bl(l ∈ \mathbb{Z})$ 이다.
$c = bl$ 에 $b = ak$ 를 대입하면 $c = bl = akl$ 이므로, $c$ 는 $a$ 로 나누어 떨어진다.    
$∴ a \mid c$

 

• 앞에서 언급한 것처럼 나누기 연산을 하면 몫과 나머지를 구할 수 있다.

 

몫을 구하는 연산 : $\text{div}$

• $n = dq + r \; (n ∈ \mathbb{Z}, \; d ∈ \mathbb{N}, \; 0 ≤ r < |d|)$ 을 만족하는 몫 `q` 를 구하는 연산

$$a = n \; \text{div} \; d$$

 

나머지를 구하는 연산 : $\text{mod}$

• $n = dq + r \; (n ∈ \mathbb{Z}, \; d ∈ \mathbb{N}, \; 0 ≤ r < |d|)$ 을 만족하는 나머지 `r` 을 구하는 연산

$$a = n \; \text{mod} \; d$$