[이산 수학] 명제

명제

• 현실 세계를 간략하고 정확하게 판별하도록 표현한 문장
• 수학적 논리를 구성하는 가장 기본적인 단위
• 명제는 누구나 객관적으로 참(T)과 거짓(F)을 구분할 수 있어야 한다.

 

진릿값(Truth Value)

참(True : T)이나 거짓(False : F)을 가리키는 값

 

명제(Proposition)

객관적인 기준으로 진릿값을 구분할 수 있는 문장이나 수식
일반적으로 명제는 영문 소문자 $p, \;q, \;r, \;\cdots$ 로 표현

 

• 명제는 객관적으로 참(T)과 거짓(F)을 구분할 수 있는 문자이어야 한다.
  • 명제가 아닌 예 
    • '짜장면은 맛있다.' 와 같은 문장은 주관적 판단에 따라 답이 달라질 수 있는 문장이다.
    • `x + 1 = 2` 와 같은 식은 미지수 `x` 값에 따라 참(T)과 거짓(F)이 달라질 수 있다.
    • 이처럼 참, 거짓을 판단할 수 없는 문장은 명제라고 할 수 없다.
  • 명제의 예
    • '서울은 대한민국의 수도이다.' 는 참(T)으로 명백하게 답할 수 있다.
    • `1 + 1 = 3` 은 거짓(F)으로 명백하게 답할 수 있다.
    • 이처럼 참, 거짓을 명확하게 판단할 수 있는 문장은 명제라고 할 수 있다.

 

예제

• 정수 `x` 에 대하여 `|x| ≤ 0` 을 만족하는 정수가 적어도 한 개는 있다.
  • `x` 값에 따라 진릿값이 결정되는 것이 아니라, `|x| ≤ 0` 을 만족하는 정수가 존재하느냐 존재하지 않느냐에 따라 진릿값이 결정된다.
  • 따라서 위 문장은 미지수 `x` 를 포함하지만, 참(T)과 거짓(F)을 구분할 수 있으므로 명제이다.
• 컴퓨터의 가격은 비싸다.
  • 개인의 기준에 따라 진릿값이 달라질 수 있으므로 명제가 아니다.
• 사계절은 봄, 여름, 가을, 겨울이다.
  • 객관적으로 판단할 수 있으므로, 진릿값이 참(T)인 명제이다.
• `x > 10`
  • 미지수 `x` 에 대입하는 값에 따라 진릿값이 달라질 수 있으므로 명제가 아니다.
• `5 + 2 = 8`
  • `5 + 2 ≠ 8` 임을 객관적으로 판단할 수 있으므로, 진릿값이 거짓(F)인 명제이다.
• 모든 실수 `a` 에 대하여 `a^{2} = 1` 을 만족하는 경우는 오로지 `a = 1` 뿐이다.
  • `a^{2} = 1` 을 만족하는 실수 `a` 가 1 외에 -1도 존재함을 객관적으로 판단할 수 있으므로, 진릿값이 거짓(F)인 명제이다.