Per ardua ad astra.

모평균의 추정 대부분의 모집단은 분포를 비롯하여 모집단의 특성을 나타내는 모수가 알려져 있지 않다. 따라서 표본을 선정하여 얻은 정보를 이용하여 모집단의 모수를 과학적으로 추론할 필요가 있다. 이와 같이 모집단으로부터 선정한 표본을 통해 얻은 정보를 이용하여 미지의 모수를 추측하는 것을 추정(Estimate)이라 한다. 이 때, 모집단이 정규 분포를 따르면 표본의 크기 `n` 에 관계 없이 표본 평균 $\overline{X}$ 는 정규 분포를 따른다. 그리고 모집단 분포가 정규 분포가 아닌 경우에도 표본의 크기 `n` 이 충분히 크면 표본 평균 $\overline{X}$ 가 근사적으로 정규 분포를 따르는 것을 살펴보았다. 이 페이지에서는 모집단으로부터 표본을 선정하여 과학적인 방법으로 모평균을 추정하는 ..

연속 확률 분포 종 모양의 대칭형인 연속 확률 분포를 정규 분포라 한다. 정규 분포(Normal Distribution) 연속 확률 변수 `X` 의 확률 밀도 함수 `f(x)` 가 다음과 같을 때, 확률 변수 `X` 는 모수 `μ` 와 $σ^{2}$ 인 정규 분포(Normal Distribution)를 따른다 하고, $X \sim N(μ, σ^{2})$ 으로 나타낸다. $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}σ}e^{-\frac{(x - μ)^{2}}{2σ^{2}}}, \quad -\infty < x < \infty$$ 자연 현상이나 사회 현상에서 얻게 되는 대부분의 자료에 대한 히스토그램은 자료의 수가 클수록 계급 간격이 좁아지고, 아래와 같이 좌우 대칭인 종 모양의 곡선에 가까워진다. 또한 ..

이산 확률 분포 일반적으로 통계 모형에서 사용되는 확률 분포는 확률 함수에 의해 결정되는데, 이 때 확률 함수를 살펴보면 특정한 숫자에 의해 동일한 유형으로 나타난다. 특히 이산 확률 변수의 확률 분포를 이산 확률 분포라 한다. 베르누이 분포(Bernoulli Distribution) 동전 던지기의 앞면과 뒷면, 생산한 제품의 양호와 불량, 그리고 설문조사의 YES와 NO 등과 같이 실험 결과가 2가지인 확률 실험을 베르누이 실험(Bernoulli Experiment)이라 한다. 이 실험에서 관심의 대상이 되는 실험 결과를 성공, 그렇지 않은 결과를 실패라 하고, 성공의 확률 `p` 를 성공률(Rate of Success)이라 한다. 예 주사위를 던져서 1의 눈이 나오는 게임을 한다면, 관심의 대상은 1..

베이즈 정리 확률이 0이 아닌 사건들 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 이 어떤 사건 `B` 의 발생에 원인이 된다고 하자. 이 때, 주어진 사건 $A_{i}, \; i = 1, 2, \cdots, n$ 의 조건부 확률을 이용하여 사건 `B` 가 발생할 확률을 구할 수 있다. 또한 사건 `B` 가 발생했을 때, 사건 `B` 의 발생 요인들 중에서 어느 특정한 요인이 작용할 확률을 구할 수 있다. 전확률 공식(Formula of Total Probability) 확률이 0이 아닌 사건 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 을 표본 공간 `S` 의 분할이라 하면, 임의의 사건 `B` 의 확률은 다음과 같다. $$P(B) = \sum_{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A..

조건부 확률 어떤 제한된 조건 아래에서 확률을 계산해야 할 경우가 있다. 예) 내일 비가 오든지 그렇지 않든지 관계 없이 모레 비가 올 확률을 구하는 경우와 내일 비가 온다는 전제 조건 아래에서 모레 비가 올 확률은 다르게 나타난다. 조건부 확률의 정의 통계학 교과목을 수강하는 50명의 학생이 아래와 같이 구성되었을 때, 담당 교수가 이 학생들 중에서 임의로 선정한 학생이 2학년 남학생일 확률을 구한다고 하자. 구분 1학년 2학년 3학년 합계 남학생 22 6 3 32 여학생 13 4 2 16 합계 35 10 5 50 이 확률을 구하기 위해 선정된 학생이 남학생인 사건을 `A`, 선정된 학생이 2학년인 사건을 `B` 라고 하면 다음을 얻을 수있다. $$P(A) = \frac{32}{50}, \quad P(..

확률 확률의 의미 동전 하나를 던져서 앞면이 나올 가능성을 알아보자. 동전을 던져서 나올 수 있는 모든 경우는 앞면(`H`)과 뒷면(`T`) 뿐이다. 동전을 던지는 실험에서 표본 공간은 $S = \{ H, T \}$ 이고, 앞면이 나오는 사건은 $A = \{ H \}$ 로 나타낼 수 있다. 이 때, `H` 와 `T` 가 모두 같은 정도로 나온다고 가정하면 사건 `A` 가 일어날 가능성은 $\frac{1}{2}$ 라고 추측할 수 있다. 그리고 이러한 추측에는 동전이 공정하다는 전제 조건(앞면과 뒷면이 나올 가능성이 동등하다)이 필요하다. 그러면 사건 `A` 가 일어날 가능성인 숫자 $\frac{1}{2}$ 에 대해, 분모의 숫자 2는 표본 공간 안의 원소의 개수이고, 분자의 숫자 1은 사건 `A` 안에 있..