Per ardua ad astra.

이산 확률 변수 이산 확률 변수의 의미 동전을 두 번 던지는 게임에서 앞면이 나온 횟수를 `X` 로 나타내면, `X` 를 이용하여 앞면이 나온 횟수라는 특성에 따라 구분된 사건을 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다. $$ \eqalign{ \{ HH \} &\Leftrightarrow X = 2 \\ \{ HT, TH \} &\Leftrightarrow X = 1 \\ \{ TT \} &\Leftrightarrow X = 0}$$ 그러므로 앞면이 나온 횟수인 `X` 는 아래와 같이 표본 공간 `S` 에서 실수 전체의 집합 `R` 로의 함수로 생각할 수 있다. 이 때 앞면이 나온 횟수인 `X` 를 확률 변수(Random Variable)라고 한다. 확률 변수(Random Variable) 표본 공간 `S`..

양적 자료의 정리 수집한 양적 자료의 특성을 알기 쉽게 정리하기 위해 개개의 측정값을 이용하거나 적당한 구간으로 집단화하여 표 또는 그림으로 표현할 수 있다. 점도표(Dot Plot) 질적 자료에서 사용한 점도표는 양적 자료에도 사용할 수 있다. 점도표는 다음과 같은 특성을 갖는다. (1) 각 자료의 정확한 측정값을 알 수 있다. (2) 전체 자료의 흩어진 분포 모양을 알 수 있다. (3) 관찰값의 수만큼 점을 찍어서 나타내므로 자료의 수가 많으면 부적절하다. 도수 분포표(Frequency Distribution Table) 양적 자료를 일정한 간격으로 묶어서 집단화하는 방법으로 도수 분포표를 사용한다. 양적 자료를 적당한 간격으로 집단화하여 계급, 도수, 상대 도수, 누적 도수, 누적 상대 도수, 계급..

질적 자료의 정리 점도표(Dot Plot) 수집한 범주형 자료에 대해 수평축에 각 범주를 작성하고 수직 방향으로 각 범주의 측정값에 해당하는 수만큼 점으로 나타낸 그림 각 범주의 관찰 도수 만큼 점으로 표현하므로, 관찰한 도수의 수가 많으면 불편하다. 예 도수표(Frequency Table) 각 범주의 도수와 상대 도수 또는 범주의 백분율을 기입하여 보여주는 표 상대적인 크기를 보여주지만, 그림에 비해 이해력이 떨어진다는 단점이 있다. 도수, 상대 도수, 범주의 백분율은 각각 다음과 같다. - 도수(Frequency) : 각 범주에 대해 관찰된 자료 수 - 상대 도수(Relative Frequency) : 각 범주의 도수를 전체 도수로 나눈 값 $\displaystyle \text{상대 도수} = \fr..

자료의 종류 통계적인 목적에 맞춰서 수집된 대상을 자료(Data)라고 한다. 이러한 자료를 수집하여 분석하거나, 이를 표 또는 그림으로 표현하여 수집한 자료로부터 의미 있는 정보를 얻어내는 일련의 과정을 통계(Statistics)라고 한다. 자료의 종류 자료(Data)는 숫자에 의해 표현되는지 그렇지 않은지에 따라 크게 2가지로 분류된다. 양적 자료(Qualitative Data)와 질적 자료(Quantitative Data) 혈액형은 A형, B형, AB형, O형이라는 범주로 구분될 뿐 숫자에 의해 표현할 수 없다. 키 또는 몸무게에 대한 자료는 범주가 아닌 숫자로 표현되며, 숫자에 대해 대소 관계 또는 크기 관계가 구분된다. 이와 같이 범주로 표현되는 자료를 질적 자료라 하고, 숫자에 의해 표현되는 자..

미분법 도함수는 그래프 위의 한 점에서 접선의 방정식을 구하거나 함수의 최댓값과 최솟값을 구하기 위한 도구로 사용될 뿐만 아니라 확률에서도 매우 중요한 역할을 한다. 미분 계수와 도함수 곡선 위의 한 점에서 이 곡선에 대한 접선의 방정식을 구하기 위한 수학적 도구인 미분 계수와 도함수의 개념을 살펴보자. 평균 변화율(Average Rate of Change) 함수 `y = f(x)` 에 대해 다음과 같이 `x` 가 `a` 에서 `b` 까지 변할 때, `y` 의 값은 `f(a)` 에서 `f(b)` 로 변한다. 이때 `x` 의 변화량 `b - a` 를 `x` 의 증분(Increments)이라 하고, `Δx = b - a` 로 나타낸다. 그리고 `y` 의 변화량 `f(b) - f(a)` 를 `y` 의 증분이라..

경우의 수 어떤 상황에 부딪혔을 때, 그 상황에서 나타날 수 있는 모든 경우의 수를 생각해야 할 때가 빈번히 발생한다. 합의 법칙과 곱의 법칙 합의 법칙(Rule of Addition) 서로 소인 두 집합 `A` 와 `B` 의 원소의 수를 각각 `n(A)`, `n(B)` 라고 하면, 두 집합이 서로 소이므로 합집합 `A ∪ B` 의 원소의 개수는 `n(A ∪ B) = n(A) + n(B)` 이다. 이와 같이 동시에 발생하지 않는 두 사건 `A` 와 `B` 가 일어나는 경우의 수를 각각 `m` 과 `n` 이라 할 때, 사건 `A` 또는 사건 `B` 가 일어나는 경우의 수는 `m + n` 이고, 이를 합의 법칙 (Rule of Addition)이라 한다. 예제 1 : 책상 위에 서로 다른 연필 5자루와 서로..

함수 확률 현상에서 발생하는 특정한 성질을 나타내기 위해 확률 변수를 사용하는데, 이때 확률 변수에 대한 함수를 이용하면 확률을 쉽게 계산할 수 있다. 함수의 의미 공집합이 아닌 두 집합 `X` 와 `Y` 에 대해 `X` 안의 각 원소 `x` 를 `Y` 안에 있는 오직 한 원소 `y` 에 대응시키는 관계 `f` 를 함수(Function)라 하고, $f : X → Y, \; y = f(x)$ 로 나타낸다. `x` 의 집합 `X` 를 함수 `f` 의 정의역(Domain)이라 하고 $dom(f)$(또는 $D_{f}$) 로 나타낸다. `y` 의 집합 `Y` 를 함수 `f` 의 공역(Codomain)이라 한다. 특히 `y = f(x)` 를 함수라 하면, `x` 값이 정해지면 대응 관계 `f` 에 의해 `y` 값이..

집합 집합은 확률과 통계를 학습하는 데 있어 기본적으로 필요한 개념이므로 집합에 대한 기본적인 개념과 성질에 대한 이해가 필요하다. 집합(Set) 집합(Set) : 주어진 조건에 대해서 그 대상을 명확하게 구별할 수 있는 모임 원소(Element) : 집합을 구성하는 대상들 보편적으로 집합은 대문자 알파벳 `A, B` 등으로 나타내고, 원소는 소문자 알파벳 `a, b` 등으로 나타낸다. 집합 `A` 의 원소를 `a, b, c` 라고 할 때, 원소 `a` 가 집합 `A` 에 포함될 경우 `a ∈ A` 와 같이 나타내고, 그렇지 않을 경우 `a \notin A` 로 나타낸다. ※ '집합' 을 향하도록 삼지창을 그린다. 집합의 표현 ① 원소 나열법(Tabular Form) 모든 원소를 나열하는 방법 예) `A..