[BOJ-15649][C++] N과 M (1)

문제

자연수 N과 M이 주어졌을 때, 아래 조건을 만족하는 길이가 M인 수열을 모두 구하는 프로그램을 작성하시오.

• 1부터 N까지 자연수 중에서 중복 없이 M개를 고른 수열

 

입력

첫째 줄에 자연수 N과 M이 주어진다. (1 ≤ M ≤ N ≤ 8)

 

출력

한 줄에 하나씩 문제의 조건을 만족하는 수열을 출력한다. 중복되는 수열을 여러 번 출력하면 안되며, 각 수열은 공백으로 구분해서 출력해야 한다.

수열은 사전 순으로 증가하는 순서로 출력해야 한다.

 

예제 입력 1 

3 1

 

예제 출력 1

1
2
3

 

예제 입력 2

4 2

 

예제 출력 2 

1 2
1 3
1 4
2 1
2 3
2 4
3 1
3 2
3 4
4 1
4 2
4 3

 

예제 입력 3

4 4

 

예제 출력 3

1 2 3 4
1 2 4 3
1 3 2 4
1 3 4 2
1 4 2 3
1 4 3 2
2 1 3 4
2 1 4 3
2 3 1 4
2 3 4 1
2 4 1 3
2 4 3 1
3 1 2 4
3 1 4 2
3 2 1 4
3 2 4 1
3 4 1 2
3 4 2 1
4 1 2 3
4 1 3 2
4 2 1 3
4 2 3 1
4 3 1 2
4 3 2 1

 

알고리즘 분류

• 백트래킹

 

문제 출처

https://www.acmicpc.net/problem/15649

15649번: N과 M (1)

 

---

 

문제 해결 방법

• 백트래킹 알고리즘을 이용하여 문제를 해결하였다.
• 1부터 N 중에 하나를 선택한 뒤, 다음 1부터 N까지 선택할 때 이미 선택한 값이 아닌 경우(visited == false)에 선택한다.
• 이 과정을 밑바닥까지 갈 때까지 반복해준다.
  • M개를 선택할 경우 프린트 해준다.
• 이 문제는 중복을 허용하지 않는 순열($_{n}P_{r}$)을 백트래킹을 이용하여 표현하는 문제이다.

 

백트래킹 알고리즘을 사용할 때의 시간 복잡도

• $N^{N}$ : 중복이 가능, N = 8까지 가능
  • [깊이 0] 1 ~ n : N
  • [깊이 1] 1 ~ n : N
  • [깊이 2] 1 ~ n : N
  • ...
  • 시간 복잡도는 $N × N × N ... × N = N × N = N^{N}$ 이다.
• $N!$ : 중복이 불가, N = 10까지 가능
  • [깊이 0] 1 ~ n : N 
  • [깊이 1] 1 ~ n - 1 : N - 1
  • [깊이 2] 1 ~ n - 2 : N - 2
  • ...
  • 시간 복잡도는 $N × (N - 1) × (N - 2) × ... × 1 = N!$ 이다. 
• 따라서 백트래킹을 사용할 경우 최대 N = 10까지 사용 가능하다. (입력 조건을 확인하고 사용한다.)

 

사용한 자료형

• 방문 여부 확인 배열 : bool visited[MAX_SIZE];
• 선택한 값 배열 : nums[MAX_SIZE];

 

코드 작성하기

• 밑바닥에 닿을 때까지 DFS를 이용하여 이동한 후, 순서대로 nums 배열에 있는 값을 출력해준다.
• if (!visited[i]) {} 의 역할은 방문 여부를 확인함으로써 중복되는 수들을 출력되지 않게 하는 것이다.
  • 이 조건문을 빼면 중복되는 수들을 포함하는 순열을 출력시킬 수 있다. 

void DFS(int n) {
    if (n == M) {    // 깊이가 M에 도달할 경우
        for (int i = 0; i < M; i++) {
            cout << nums[i] << ' ';    // 요소들을 하나씩 출력
        }
        cout << '\n';
    }
    else {    // 깊이가 M에 도달하지 않을 경우
        for (int i = 1; i <= N; i++) {    // 1부터 N까지 출력 (1 이상 N 이하)
            if (!visited[i]) {    // 방문되지 않았으면 (중복된 수를 출력하지 않도록 하기 위함.)
                visited[i] = true;   // 방문 처리 (1) : 방문 표시
                nums[n] = i;    // 방문 처리 (2) : 출력할 요소들을 추가함.
                DFS(n + 1);    // 더 깊은 곳으로 이동
                visited[i] = false;   // 방문 표시 해제
            }
        }
    }
}

 

재귀 함수와 도식도

• 재귀 함수를 사용할 경우, 반드시 도식도를 그려서 표현해본다.
• 귀찮더라도 도식도를 그려보면서 문제를 풀면 작동 원리 등을 쉽게 이해할 수 있다.

N = 4, M = 2 일 때의 도식도의 예

• 도식도를 그려보면 프로그램 실행 결과와 동일한 값이 출력되는 것을 확인할 수 있다.

1 2 
1 3
1 4
2 1
2 3
2 4
3 1
3 2
3 4
4 1
4 2
4 3

 

코드

#include <iostream>
using namespace std;

#define MAX_SIZE 8

int N, M;
int nums[MAX_SIZE];
bool visited[MAX_SIZE];

void DFS(int n) {
    if (n == M) {    // 깊이가 M에 도달할 경우
        for (int i = 0; i < M; i++) {
            cout << nums[i] << ' ';    // 요소들을 하나씩 출력
        }
        cout << '\n';
    }
    else {    // 깊이가 M에 도달하지 않을 경우
        for (int i = 1; i <= N; i++) {    // 1부터 N까지 출력 (1 이상 N 이하)
            if (!visited[i]) {    // 방문되지 않았으면 (중복된 수를 출력하지 않도록 하기 위함.)
                visited[i] = true;   // 방문 처리 (1) : 방문 표시
                nums[n] = i;    // 방문 처리 (2) : 출력할 요소들을 추가함.
                DFS(n + 1);    // 더 깊은 곳으로 이동
                visited[i] = false;   // 방문 표시 해제
            }
        }
    }
}

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);

    cin >> N >> M;
    DFS(0);
    
    return 0;
}

 

채점 결과

 

참고

• [단계별로 풀어보기] > [백트래킹]
• 실버III