[이산 수학] 행렬의 종류

행렬의 종류

• 행렬의 형태 혹은 구성 원소에 따라 다양한 종류의 행렬로 나눌 수 있다.

 

대각 행렬(Diagonal Matrix)

`n` 차 정사각 행렬에서 주대각 원소 $a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{nn}$  을 제외한 나머지 원소가 모두 `0` 인 행렬

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$$

• 대각 행렬은 반드시 정사각 행렬이어야 한다.

 

예

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$

 

전치 행렬(Transpose Matrix : $A^{T}$)

`m × n` 행렬 `A = [a_{ij}]` 의 행과 열의 위치를 바꾼 `n × m` 행렬

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}, \quad A^{T} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$$

 

예

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 2 & 3 & 0 \\ 6 & 0 & 4 \end{bmatrix}, \quad A^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 2 & 3 & 0 \\ 6 & 0 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B^{T} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$

 

대칭 행렬(Symmetric Matrix)

`n` 차 정사각 행렬 `A = [a_{ij}]` 가 있을 때 `A^{T} = A` 인 행렬

• 전치 행렬은 행의 원소와 열의 원소의 위치를 바꾼 행렬로, 정사각 행렬이 아니더라도 어떤 행렬이든 전치 행렬을 구할 수 있다.
• 그러나 대칭 행렬의 경우, 원래 행렬과 전치 행렬이 같은 형태여야 하므로, 정사각 행렬인 경우에만 만들어질 수 있다.

 

예

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 2 & 3 & 0 \\ 6 & 0 & 4 \end{bmatrix}, \quad A^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 2 & 3 & 0 \\ 6 & 0 & 4 \end{bmatrix}$

 

부울 행렬(Boolean Matrix)

행렬의 모든 원소가 부울값 0과 1로만 구성된 행렬

• 행렬의 원소로 부울값을 사용하는 부울 행렬은 원소 간의 관계를 표현하거나 관계를 합성하는 데 유용하다.
• 그러므로 부울 행렬은 부울값을 연산하는 방식으로 연산한다.

 

예

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

 

부울 행렬 연산자

부울 행렬 `A = [a_{ij}]` 와 `B = [b_{ij}]` 에 대하여 다음이 성립한다.

(1) 합(Join)	$A \lor B = [a_{ij} \lor b_{ij}]$
(2) 교차(Meet)	$A \land B = [a_{ij} \land b_{ij}]$
(3) 부울 곱(Boolean Product)	$A \odot B$ $m × n$ 부울 행렬 `A = [a_{ij}]` 와 `n × r` 부울 행렬 `B = [b_{ij}]` 의 부울 곱 결과는 `m × r` 부울 행렬

$$A \odot B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \odot \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1r} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2r} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nr} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1r} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2r} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mr} \end{bmatrix}$$
$$(c_{ij} = (a_{i1} \color{red}{\land} b_{1j}) \color{blue}{\lor} (a_{i2} \color{red}{\land} b_{2j}) \color{blue}{\lor} \cdots \color{blue}{\lor} (a_{im} \color{red}{\land} b_{mj}))$$

 

• 부울 행렬의 합과 교차는 행렬의 덧셈 또는 뺄셈처럼 같은 위치에 있는 원소끼리 논리합($\lor$) 또는 논리곱($\land$)하는 방식으로 구한다.
  • 합 연산 : 행렬 `A` 의 원소 `a_{ij}` 와 행렬 `B` 의 원소 `b_{ij}` 중 하나라도 1이면 1이고 그 외의 경우는 0이다.
  • 교차 연산 : 행렬 `A` 의 원소 `a_{ij}` 와 행렬 `B` 의 원소 `b_{ij}` 가 모두 1인 경우에만 1이고 그 외의 경우는 0이다.
• 부울 행렬의 부울 곱은 행렬의 곱셈처럼 곱셈 기호 $×$ 앞에 오는 행렬의 행의 원소와 뒤에 오는 행렬의 열의 원소를 논리곱($\land$)하거나 논리합($\lor$)하는 방식으로 구한다.
• 그러므로 부울 행렬의 합과 교차 연산에서는 피연산자로 사용되는 행렬의 크기는 서로 같아야 하고, 부울 행렬의 부울 곱 연산에서 피연산자로 사용되는 행렬의 경우에는 앞에 오는 피연산자 행렬의 열의 크기와 뒤에 오는 피연산자 행렬의 행의 크기가 같아야 한다.

 

예제 : 부울 행렬 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ 와  $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ 를 이용하여 합, 교차, 부울 곱을 연산 하시오.

$A \lor B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \lor \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \lor 0 & 0 \lor 0 \\ 0 \lor 1 & 1 \lor 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

 

$A \land B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \land \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \land 0 & 0 \land 0 \\ 0 \land 1 & 1 \land 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

 

$A \odot B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \odot \begin{bmatrix} (1 \land 0) \lor (0 \land 1) & (1 \land 0) \lor (0 \land 1) \\ (0 \land 0) \lor (1 \land 1) & (0 \land 0) \lor (1 \land 1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \lor 0 & 0 \lor 0 \\ 0 \lor 1 & 0 \lor 1 \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

 

부울 행렬 연산의 특징

부울 행렬 `A, B, C` 에 대하여 다음이 성립한다.

(1)	$A \lor A = A$
(2)	$A \land A = A$
(3)	$A \lor B = B \lor A$ (교환 법칙)
(4)	$A \land B = B \land A$ (교환 법칙)
(5)	$(A \lor B) \lor C = A \lor (B \lor C)$ (결합 법칙)
(6)	$(A \land B) \land C = A \land (B \land C)$ (결합 법칙)
(7)	$(A \odot B) \odot C = A \odot (B \odot C)$ (결합 법칙)
(8)	$(A \lor B) \land C = (A \land C) \lor (B \land C)$ (분배 법칙)
(9)	$(A \land B) \lor C = (A \lor C) \land (B \lor C)$ (분배 법칙)