[이산 수학] 행렬의 개념

행렬의 개념

• 행렬은 다수의 동일한 타입의 데이터들에 동일한 연산을 수행하기에 적합하다.

 

행렬(Matrix : $A = [a_{ij}]$)

하나 이상의 원소를 1차원 또는 2차원의 형태로 나열한 배열
`m` 행 `n` 열로 나열한 실수의 2차원 배열 ($m > 0, \; n > 0$)

$$A = [a_{ij}] = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}  \end{bmatrix} \quad (1 ≤ i ≤ m, \; 1 ≤ j ≤ n)$$

- `a_{ij}` : 행렬의 원소(Element) 또는 성분(Component)

• 행렬은 일반적으로 영문 대문자($A, B, C, \cdots$)로 표현하거나, 행렬의 원소 표기를 이용하여 `[a_{ij}]` 로 표현한다.
• 행렬에서 가로줄은 행(Row), 세로줄은 열(Column)이라고 하며, 한 행을 이루는 원소의 개수가 행 크기이고, 한 열을 이루는 원소의 개수가 열 크기이다.
• 행렬의 크기는 행 크기와 열 크기를 이용하여 나타낼 수 있는데, `m` 행, `n` 열의 크기를 갖는 행렬을 `m × n` 행렬이라고 한다.
• 각 원소는 그 원소가 위치한 행 번호(`i`)와 열 번호(`j`)를 이용해 표기하는데, `a_{ij}` 는 `i` 행 `j` 열에 위치한 원소를 의미한다.

 

예 : $A = [a_{ij}] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

• 행렬 `A` 는 행 3개와 열 4개로 구성된 행렬이므로, '크기가 3행 4열인 행렬' 또는 '3×4(3-by-4) 행렬' 이라고 한다.
• 행렬 A의 1행은 $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}$, 2행은 $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}$, 3행은 $\begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$ 이고, 1열은 $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, 2열은 $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$, 3열은 $\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}$, 4열은 $\begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}$ 이다.
• 원소 `a_{12}` 는 2이고, 원소 `a_{33}` 는 5이다.
  • 이처럼 원소 표기법을 이용하면 행렬에서 동일한 값을 갖는 원소가 있어도 원소를 구분할 수 있다.
    • 예) `a_{12}` 의 2와 `a_{21}` 의 2는 동일한 값을 가지나, 서로 다른 원소로 구분된다.

 

영행렬(Zero Matrix : `O` )

`m × n` 행렬 $A = [a_{ij}]$ 가 있을 때, 모든 `i, j` 에 대하여 `a_{ij} = 0` 인 행렬

$$O = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}$$

 

`n` 차 정사각 행렬(`n`-Square Matrix)

`m × n` 행렬 $A = [a_{ij}]$ 가 있을 때, `m = n` 인 행렬

$$O = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$$

• 정사각 행렬에서 행렬의 원소 `a_{ij}` 중, `i = j` 인 원소를 주대각 원소(Main Diagonal Element)라고 한다.

 

단위 행렬(Unit Matrix : `I` ) / 항등 행렬

주대각 원소만 1이고, 나머지 원소는 모두 0인 정사각 행렬

$$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$$

• 단위 행렬은 정사각 행렬인 경우에만 존재하며, 행렬의 곱셈에서 항등원 역할을 하므로 항등 행렬이라고도 한다.