[BOJ-2579][C++] 계단 오르기

문제

계단 오르기 게임은 계단 아래 시작점부터 계단 꼭대기에 위치한 도착점까지 가는 게임이다. <그림 1>과 같이 각각의 계단에는 일정한 점수가 쓰여 있는데 계단을 밟으면 그 계단에 쓰여 있는 점수를 얻게 된다.

<그림 1>

예를 들어 <그림 2>와 같이 시작점에서부터 첫 번째, 두 번째, 네 번째, 여섯 번째 계단을 밟아 도착점에 도달하면 총 점수는 10 + 20 + 25 + 20 = 75점이 된다.

<그림 2>

계단 오르는 데는 다음과 같은 규칙이 있다.

1. 계단은 한 번에 한 계단씩 또는 두 계단씩 오를 수 있다. 즉, 한 계단을 밟으면서 이어서 다음 계단이나, 다음 다음 계단으로 오를 수 있다.
2. 연속된 세 개의 계단을 모두 밟아서는 안 된다. 단, 시작점은 계단에 포함되지 않는다.
3. 마지막 도착 계단은 반드시 밟아야 한다.

따라서 첫 번째 계단을 밟고 이어 두 번째 계단이나, 세 번째 계단으로 오를 수 있다. 하지만, 첫 번째 계단을 밟고 이어 네 번째 계단으로 올라가거나, 첫 번째, 두 번째, 세 번째 계단을 연속해서 모두 밟을 수는 없다.

각 계단에 쓰여 있는 점수가 주어질 때 이 게임에서 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

입력

입력의 첫째 줄에 계단의 개수가 주어진다.

둘째 줄부터 한 줄에 하나씩 제일 아래에 놓인 계단부터 순서대로 각 계단에 쓰여 있는 점수가 주어진다. 계단의 개수는 300이하의 자연수이고, 계단에 쓰여 있는 점수는 10,000이하의 자연수이다.

 

출력

첫째 줄에 계단 오르기 게임에서 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 출력한다.

 

예제 입력 1

6
10
20
15
25
10
20

 

예제 출력 1 

75

 

출처

Olympiad > 한국정보올림피아드 > 한국정보올림피아드시․도지역본선 > 지역본선 2006 > 초등부 4번

 

알고리즘 분류

• 다이나믹 프로그래밍

 

문제 출처

https://www.acmicpc.net/problem/2579

2579번: 계단 오르기

 

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문제 해결 방법

• DP를 이용하여 문제를 해결하였다.

 

DP 테이블 만들기

• 계단의 점수는 stairs 배열에 넣으며, 입력값으로 300 이하의 자연수가 들어갈 수 있으므로, 다음과 같이 크기를 지정해준다.

			
			
			
		
int stairs[301];

• stairs 배열과 같은 크기의 DP 테이블을 만든다. DP 테이블에는 점수(가중치)의 합이 쌓이게 된다.
  • DP[N] : 1번부터 N번까지의 계단의 점수 합의 최댓값

			
			
			
		
int dp[301];

 

 

첫 번째 계단부터 세 번째 계단까지의 DP 테이블 채우기

• 첫 번째 계단부터 세 번째 계단까지의 DP 테이블은 직접 계산을 하여 넣어준다.

• dp[1]은 첫 번째 계단을 밟는 경우(stairs[1])이다. (10)
• dp[2]는 다음의 2가지 경우 중에서 최댓값이다. (30, 당연히 두 계단을 모두 밟는 경우의 점수합이 더 크다.)
  • 첫 번째 계단과 두 번째 계단을 밟는 경우(stairs[1] + stairs[2]) : 10 + 20 = 30 [1칸 + 1칸]
  • 두 번째 계단만 밟는 경우(stairs[2]) : 20 [2칸]
• dp[3]은 다음의 2가지 경우 중에서 최댓값이다. (35)
  • 첫 번째 계단과 세 번째 계단을 밟는 경우(stairs[1] + stairs[3]) : 10 + 15 = 25 [1칸 + 2칸]
  • 두 번째 계단과 세 번째 계단을 밟는 경우(stairs[2] + stairs[3]) : 20 + 15 = 35 [2칸 + 1칸]
• 위의 내용들을 코드로 표현하면 다음과 같다.

			
			
			
		
dp[1] = stairs[1];
dp[2] = max(stairs[2], stairs[1] + stairs[2]);
dp[3] = max(stairs[1] + stairs[3], stairs[2] + stairs[3]);

 

네 번째 계단부터 n 번째 계단 까지의 DP 테이블 채우기

• 네 번째 계단부터 n번째 계단까지는 점화식을 활용하여 DP 테이블을 채워나간다. 우선 점화식은 다음과 같다.

$$DP[n] = \text{Max}(dp[i - 3] + stairs[i - 1] + stairs[i], \; dp[i - 2] + stairs[i])$$

• dp[i] ($i \ge 4$)은 다음의 2가지 경우 중에서 최댓값이다.
  • i  - 3번째 계단까지의 점수합 + i - 1번째 계단의 점수 + i번째 계단의 점수 [2칸 + 1칸]
  • i - 2번째 계단까지의 점수합 + i 번째 계단의 점수 [2칸]
• 점화식만 보면 이해하기 어렵다. dp[4]를 구하는 과정을 그림을 그려서 표현해보면 다음과 같다. 

1번째 경우를 그림으로 표현한 모습

2번째 경우를 그림으로 표현한 모습

• 계단은 2칸 또는 1칸만 이동할 수 있고, 3칸을 연속으로 이동할 수 없으므로, dp[4]의 값을 구하려면 위의 그림과 같이 [2칸 + 1칸] 또는 [2칸]을 이동해야 한다.
  
  • [2칸 + 1칸]을 이동하려면 dp[4 - 3]에서 부터 시작해야 한다.
  • [2칸]을 이동하려면 dp[4 - 2]에서 부터 시작해야 한다.
• 참고로 다음과 같이 이동할 수도 있지 않을까 의문이 들 수도 있다. (아래 그림의 첫 번째 계단은 네 번째 계단이라고 가정한다.)

• 하지만, 위의 왼쪽 그림의 경우, 이전 과정에서 계단을 [1칸] 이동했다면, 연속된 3개의 계단을 이동하면 안된다는 문제의 조건에 위배되게 된다.
• 위의 오른쪽 그림의 경우, 연속된 3개의 계단을 이동하면 안된다는 문제의 조건에 위배된다.
• 따라서 연속된 3개의 계단을 이동하면 안된다는 문제의 조건을 만족시키기 위해 [2칸]을 먼저 이동하는 것으로 처리하고(계단 이동 횟수 초기화), 각 경우([2칸] 또는 [2칸 + 1칸])에 따라 시작점의 위치를 다르게 해주는데 이 위치를 각각 dp[i - 3]과 dp[i - 2]로 처리해주는 것이다.
• 위의 내용들을 코드로 표현하면 다음과 같다.

			
			
			
		
for (int i = 4; i <= n; i++) {
    dp[i] = max(dp[i - 3] + stairs[i - 2] + stairs[i], dp[i - 2] + stairs[i]);
}

 

코드로 표현하기

• 위의 내용들을 종합하여 코드로 표현하면 다음과 같다.

			
			
			
		
int Solution(int n) {
    dp[1] = stairs[1];
    dp[2] = max(stairs[2], stairs[1] + stairs[2]);
    dp[3] = max(stairs[1] + stairs[3], stairs[2] + stairs[3]);
    for (int i = 4; i <= n; i++) {
        dp[i] = max(dp[i - 3] + stairs[i - 1] + stairs[i], dp[i - 2] + stairs[i]);
    }
 
    return dp[n];
}

• 예제 입력 1을 입력으로 넣을 경우, 각각의 테이블에는 다음과 같이 채워진다. 

stairs[0]	stairs[1]	stairs[2]	stairs[3]	stairs[4]	stairs[5]	stairs[6]
0	10	20	15	25	10	20

dp[0]	dp[1]	dp[2]	dp[3]	dp[4]	dp[5]	dp[6]
0	10	30	35	55	65	75

 

코드

			
			
			
		
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
 
int n;
int stairs[301];
int dp[301];
 
void Input() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> stairs[i];
    }
}
 
int Solution(int n) {
    dp[1] = stairs[1];
    dp[2] = max(stairs[2], stairs[1] + stairs[2]);
    dp[3] = max(stairs[1] + stairs[3], stairs[2] + stairs[3]);
    for (int i = 4; i <= n; i++) {
        dp[i] = max(dp[i - 3] + stairs[i - 1] + stairs[i], dp[i - 2] + stairs[i]);
    }
 
    return dp[n];
}
 
void Output() {
    cout << Solution(n) << '\n';
}
 
int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);
 
    Input();
    Output();
 
    return 0;
}

 

채점 결과

 

참고

• [단계별로 풀어보기] > [동적 계획법 1]
• 실버III