[BOJ-9020][C++] 골드바흐의 추측

문제

1보다 큰 자연수 중에서  1과 자기 자신을 제외한 약수가 없는 자연수를 소수라고 한다. 예를 들어, 5는 1과 5를 제외한 약수가 없기 때문에 소수이다. 하지만, 6은 6 = 2 × 3 이기 때문에 소수가 아니다.

골드바흐의 추측은 유명한 정수론의 미해결 문제로, 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 것이다. 이러한 수를 골드바흐 수라고 한다. 또, 짝수를 두 소수의 합으로 나타내는 표현을 그 수의 골드바흐 파티션이라고 한다. 예를 들면, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11, 14 = 7 + 7이다. 10000보다 작거나 같은 모든 짝수 n에 대한 골드바흐 파티션은 존재한다.

2보다 큰 짝수 n이 주어졌을 때, n의 골드바흐 파티션을 출력하는 프로그램을 작성하시오. 만약 가능한 n의 골드바흐 파티션이 여러 가지인 경우에는 두 소수의 차이가 가장 작은 것을 출력한다.

 

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고 짝수 n이 주어진다.

 

출력

각 테스트 케이스에 대해서 주어진 n의 골드바흐 파티션을 출력한다. 출력하는 소수는 작은 것부터 먼저 출력하며, 공백으로 구분한다.

 

제한

• 4 ≤ n ≤ 10,000

 

예제 입력 1 

3
8
10
16

 

예제 출력 1 

3 5
5 5
5 11

 

출처

ICPC > Regionals > Asia Pacific > Korea > Nationwide Internet Competition > Daejeon Nationalwide Internet Competition 2011 E번

 

알고리즘 분류

• 수학
• 정수론
• 소수 판정
• 에라토스테네스의 체

 

문제 출처

https://www.acmicpc.net/problem/9020

9020번: 골드바흐의 추측

 

문제 해결 방법

• 우선 에라토스테네스의 체 알고리즘을 이용하여 2부터 10000 사이의 소수를 모두 구해놓는다.
• 문제의 조건대로 두 소수의 차이가 가장 작게 나타나도록 하기 위해 n의 절반값(n / 2)부터 시작하여 조사를 한다.
  • for (int i = n / 2; i > 0; i--) {}
• 골드바흐의 추측과 관련된 내용은 이곳을 참고한다.

 

코드

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int T, n, k, sieve[10001];

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);

    cin >> T;

    // 에라토스테네스의 체 알고리즘으로 2부터 10,000까지 소수 구해놓기
    sieve[0] = sieve[1] = 0;
    for (int i = 2; i <= 10000; i++) {
        sieve[i] = i;
    }

    k = sqrt(10000);
    for (int i = 2; i <= k; i++) {
        if (sieve[i] == 0) continue;
        for (int j = i * 2; j <= 10000; j += i) {
            if (sieve[j] == 0) continue;
            else sieve[j] = 0;
        }
    }

    for (int i = 0; i < T; i++) {
        cin >> n;

        // 두 소수의 차이가 가장 작게 나타나도록 n의 절반 값부터 조사를 시작한다.
        for (int i = n / 2; i > 0; i--) {
            if (sieve[i] != 0 && sieve[n - i] != 0) {
                cout << i << " " << n - i << '\n';
                break;    // 두 소수의 차이가 가장 작게 나타나는 경우 1가지만 출력
            }
        }
    }

    return 0;
}

 

 

채점 결과

 

참고

• [단계별로 풀어보기] > [기본 수학 2]
• 실버II

 

골드바흐의 추측(Goldbach's Conjecture)

정의

2보다 큰 짝수는 2개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다. (이때 하나의 소수를 두 번 사용하는 것은 허용한다.)

• 하지만 아직까지도 2보다 큰 모든 짝수에 대해서 성립하는지는 해결되지 못하고 있다.

 

골드바흐의 파티션(Goldbach's Partition)

• 짝수를 두 소수의 합으로 나타낸 것을 그 수의 골드바흐 파티션이라고 한다.
• 예)
  • 4 = 2 + 2
  • 6 = 3 + 3
  • 8 = 3 + 5
  • 10 = 5 + 5
  • 12 = 5 + 7
  • 14 = 3 + 11
  • 14 = 7 + 7
• 10,000보다 작거나 같은 모든 짝수에 대한 골드바흐 파티션은 존재한다.

 

참고 사이트

• https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%A8%EB%93%9C%EB%B0%94%ED%9D%90%EC%9D%98_%EC%B6%94%EC%B8%A1

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